Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #15439 parent #15438 ← older
ru/7.4.13.md +100 −3
@@ -1,11 +1,108 @@
### Условие
−$7.4.13.$ [Вставьте условие задачи]
+$7.4.13.$ Расстояние между электроном и позитроном в позитронии $r$. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону, чтобы позитроний распался?
+
### Решение
−sdf
+Потенциальная энергия пары электрона и позитрона на расстоянии $r$:
+$$U(r)=-\frac{ke^{2}}{r}$$
+
+где $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}$, $e$ - заряд электрона.
+
+Распад позитрония означает, что полная энергия в системе центра масс неотрицательна:
+
+$$E=K_{отн}+U(r)\ge 0$$
+
+То есть относительная кинетическая энергия должна достигнуть:
+
+$$K_{отн}=\frac{ke^{2}}{r}$$
+
+Обозначим $u$ - скорость вращения частиц относительно неподвижной системы координат. Радиус окружности вращения составит $r/2$. Запишем второй закон Ньютона для позитрония:
+
+$$\frac{m_{e}u^{2}}{\frac{r}{2}}=\frac{ke^{2}}{r^{2}}\Longrightarrow m_{e}u^{2}=\frac{ke^{2}}{2r} \tag{1}$$
+
+здесь $m_{e}$ - масса электрона.
+
+Приведённая масса для двух равных масс $m_{e}$:
+
+$$\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{e}}{2}$$
+
+Начальная относительная скорость:
+
+$$\upsilon_{отн}^{(н)}=u-(-u)=2u$$
+
+Отсюда начальная относительная кинетическая энергия:
+
+$$K_{отн}^{(н)}=\frac{1}{2}\mu\left( \upsilon_{отн}^{(н)} \right)^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{m_{e}}{2}\cdot(2u)^{2}=m_{e}u^{2}$$
+
+Подставим (1):
+
+$$K_{отн}^{(н)}=\frac{ke^{2}}{2r}$$
+
+Чтобы $K_{отн}$ достигло $\frac{ke^{2}}{r}$ нужно добавить энергии:
+
+$$\Delta K_{отн}=\frac{ke^{2}}{r}-K_{отн}^{(н)}=\frac{ke^{2}}{r}-\frac{ke^{2}}{2r}=\frac{ke^{2}}{2r} \tag{2}$$
+
+Оптимальное направление передачи дополнительной скорости (энергии) — вдоль текущей скорости электрона, потому что это даёт наибольшее увеличение относительной скорости при минимальной затрате энергии. Пусть мгновенное приращение скорости электрона равно $\Delta\upsilon$, тогда конечная скорость для электрона будет:
+
+$$\upsilon_{1}=u+\Delta\upsilon$$
+
+А для позитрона скорость не успеет изменится: $\upsilon_{2}=-u$.
+
+Тогда конечная относительная скорость:
+
+$$\upsilon_{отн}^{(к)}=\upsilon_{1}-\upsilon_{2}=2u+\Delta\upsilon$$
+
+Конечная относительная энергия:
+
+$$K_{отн}^{(к)}=\frac{1}{2}\mu\left( \upsilon_{отн}^{(к)} \right)^{2}=\frac{m_{e}}{4}\cdot(2u+\Delta\upsilon)^{2}$$
+
+Приращение кинетической энергии относительного движения:
+
+$$\Delta K_{отн}=K_{отн}^{(к)}-K_{отн}^{(н)}=\frac{m_{e}}{4}\cdot(2u+\Delta\upsilon)^{2}-m_{e}u^{2}=m_{e}u\Delta\upsilon+\frac{m_{e}}{4}(\Delta\upsilon)^{2}$$
+
+С учётом выражения (2), получим:
+
+$$m_{e}u\Delta\upsilon+\frac{m_{e}}{4}(\Delta\upsilon)^{2}=\frac{ke^{2}}{2r}$$
+
+Но с другой стороны, согласно выражению (1), получим:
+
+$$m_{e}u\Delta\upsilon+\frac{m_{e}}{4}(\Delta\upsilon)^{2}=m_{e}u^{2}$$
+
+Вышло квадратное уравнение относительно $\Delta\upsilon$:
+
+$$(\Delta\upsilon)^{2}+4u\Delta\upsilon-4u^{2}=0$$
+
+Нас интересует только положительный корень уравнения:
+
+$$\Delta\upsilon=2u(\sqrt{2}-1) \tag{3}$$
+
+Начальная полная кинетическая энергия нашего позитрония:
+
+$$T^{(н)}=\frac{1}{2}m_{e}u^{2}+\frac{1}{2}m_{e}u^{2}=m_{e}u^{2}$$
+
+Конечная полная кинетическая энергия нашего позитрония:
+
+$$T^{(к)}=\frac{1}{2}m_{e}(u+\Delta\upsilon)^{2}+\frac{1}{2}m_{e}u^{2}=m_{e}u^{2}+m_{e}u\Delta\upsilon+\frac{1}{2}m_{e}(\Delta\upsilon)^{2}$$
+
+Поэтому сообщённая системе энергия:
+
+$$T=T^{(к)}-T^{(н)}=m_{e}u\Delta\upsilon+\frac{1}{2}m_{e}(\Delta\upsilon)^{2}$$
+
+Подставим сюда (3):
+
+$$T=m_{e}u\cdot 2u(\sqrt{2}-1)+\frac{1}{2}m_{e}\left(2u(\sqrt{2}-1) \right)^{2}=2m_{e}u^{2}(2-\sqrt{2})$$
+
+Вновь используя выражение (1), получим:
+
+$$T_{мин}=2\frac{ke^{2}}{2r}(2-\sqrt{2})=\frac{ke^{2}(2-\sqrt{2})}{r}$$
+
+Окончательно:
+
+$$T_{мин}=\frac{e^{2}(2-\sqrt{2})}{4\pi\varepsilon_{0}r}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$T_{мин}=\frac{e^{2}(2-\sqrt{2})}{4\pi\varepsilon_{0}r}$$