Решение

Потенциальная энергия пары электрона и позитрона на расстоянии $r$:

$$U(r)=-\frac{ke^{2}}{r}$$

где $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}$, $e$ - заряд электрона.

Распад позитрония означает, что полная энергия в системе центра масс неотрицательна:

$$E=K_{отн}+U(r)\ge 0$$

То есть относительная кинетическая энергия должна достигнуть:

$$K_{отн}=\frac{ke^{2}}{r}$$

Обозначим $u$ - скорость вращения частиц относительно неподвижной системы координат. Радиус окружности вращения составит $r/2$. Запишем второй закон Ньютона для позитрония:

$$\frac{m_{e}u^{2}}{\frac{r}{2}}=\frac{ke^{2}}{r^{2}}\Longrightarrow m_{e}u^{2}=\frac{ke^{2}}{2r} \tag{1}$$

здесь $m_{e}$ - масса электрона.

Приведённая масса для двух равных масс $m_{e}$:

$$\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{e}}{2}$$

Начальная относительная скорость:

$$\upsilon_{отн}^{(н)}=u-(-u)=2u$$

Отсюда начальная относительная кинетическая энергия:

$$K_{отн}^{(н)}=\frac{1}{2}\mu\left( \upsilon_{отн}^{(н)} \right)^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{m_{e}}{2}\cdot(2u)^{2}=m_{e}u^{2}$$

Подставим (1):

$$K_{отн}^{(н)}=\frac{ke^{2}}{2r}$$

Чтобы $K_{отн}$ достигло $\frac{ke^{2}}{r}$ нужно добавить энергии:

$$\Delta K_{отн}=\frac{ke^{2}}{r}-K_{отн}^{(н)}=\frac{ke^{2}}{r}-\frac{ke^{2}}{2r}=\frac{ke^{2}}{2r} \tag{2}$$

Оптимальное направление передачи дополнительной скорости (энергии) — вдоль текущей скорости электрона, потому что это даёт наибольшее увеличение относительной скорости при минимальной затрате энергии. Пусть мгновенное приращение скорости электрона равно $\Delta\upsilon$, тогда конечная скорость для электрона будет:

$$\upsilon_{1}=u+\Delta\upsilon$$

А для позитрона скорость не успеет изменится: $\upsilon_{2}=-u$.

Тогда конечная относительная скорость:

$$\upsilon_{отн}^{(к)}=\upsilon_{1}-\upsilon_{2}=2u+\Delta\upsilon$$

Конечная относительная энергия:

$$K_{отн}^{(к)}=\frac{1}{2}\mu\left( \upsilon_{отн}^{(к)} \right)^{2}=\frac{m_{e}}{4}\cdot(2u+\Delta\upsilon)^{2}$$

Приращение кинетической энергии относительного движения:

$$\Delta K_{отн}=K_{отн}^{(к)}-K_{отн}^{(н)}=\frac{m_{e}}{4}\cdot(2u+\Delta\upsilon)^{2}-m_{e}u^{2}=m_{e}u\Delta\upsilon+\frac{m_{e}}{4}(\Delta\upsilon)^{2}$$

С учётом выражения (2), получим:

$$m_{e}u\Delta\upsilon+\frac{m_{e}}{4}(\Delta\upsilon)^{2}=\frac{ke^{2}}{2r}$$

Но с другой стороны, согласно выражению (1), получим:

$$m_{e}u\Delta\upsilon+\frac{m_{e}}{4}(\Delta\upsilon)^{2}=m_{e}u^{2}$$

Вышло квадратное уравнение относительно $\Delta\upsilon$:

$$(\Delta\upsilon)^{2}+4u\Delta\upsilon-4u^{2}=0$$

Нас интересует только положительный корень уравнения:

$$\Delta\upsilon=2u(\sqrt{2}-1) \tag{3}$$

Начальная полная кинетическая энергия нашего позитрония:

$$T^{(н)}=\frac{1}{2}m_{e}u^{2}+\frac{1}{2}m_{e}u^{2}=m_{e}u^{2}$$

Конечная полная кинетическая энергия нашего позитрония:

$$T^{(к)}=\frac{1}{2}m_{e}(u+\Delta\upsilon)^{2}+\frac{1}{2}m_{e}u^{2}=m_{e}u^{2}+m_{e}u\Delta\upsilon+\frac{1}{2}m_{e}(\Delta\upsilon)^{2}$$

Поэтому сообщённая системе энергия:

$$T=T^{(к)}-T^{(н)}=m_{e}u\Delta\upsilon+\frac{1}{2}m_{e}(\Delta\upsilon)^{2}$$

Подставим сюда (3):

$$T=m_{e}u\cdot 2u(\sqrt{2}-1)+\frac{1}{2}m_{e}\left(2u(\sqrt{2}-1) \right)^{2}=2m_{e}u^{2}(2-\sqrt{2})$$

Вновь используя выражение (1), получим:

$$T_{мин}=2\frac{ke^{2}}{2r}(2-\sqrt{2})=\frac{ke^{2}(2-\sqrt{2})}{r}$$

Окончательно:

$$T_{мин}=\frac{e^{2}(2-\sqrt{2})}{4\pi\varepsilon_{0}r}$$