Решение

Пусть $m$ - масса локомотива. Сила тяги $F$ действует на локомотив постоянно, поэтому ускорение локомотива тоже постоянно:

$$a=\frac{F}{m}$$

Локомотив стартовал из покоя, поэтому скорость локомотива сразу до первого удара равна:

$$u=a\Delta t \tag{1}$$

Для упругого удара в одном измерении выполняется общее свойство:

$$(\upsilon_{лок}^{'}-\upsilon_{ваг}^{'})=-(\upsilon_{лок}-\upsilon_{ваг})$$

то есть относительная скорость меняет знак, но по модулю сохраняется.

До первого удара вагон не двигался, значит:

$$\upsilon_{лок}-\upsilon_{ваг}=u$$

Отсюда следует, что сразу после удара:

$$\upsilon_{лок}^{'}-\upsilon_{ваг}^{'}=-u \tag{2}$$

После удара вагон движется с постоянной скоростью $\upsilon_{ваг}^{'}$, локомотив - с начальной скоростью $\upsilon_{лок}^{'}$ и с постоянным ускорением $a$. Через время $t$ после удара положение локомотива и вагона совпадёт:

$$\upsilon_{лок}^{'}t+\frac{1}{2}at^{2}=\upsilon_{ваг}^{'}t$$
$$(\upsilon_{лок}^{'}-\upsilon_{ваг}^{'})t+\frac{1}{2}at^{2}=0$$

Подставим (2):

$$-ut+\frac{1}{2}at^{2}=0\Longrightarrow t=\frac{2u}{a}$$

Подставим (1):

$$t=\frac{2a\Delta t}{a}=2\Delta t$$

Та же самая величина относительной скорости $u$ будет перед каждым следующим ударом. Между ударами она восстанавливается под действием того же ускорения. Поэтому время между любыми последующими соударениями равно:

$$t_{n}-t_{n-1}=2\Delta t$$