| @@ -1,41 +1,57 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $3.5.5.$ Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда мальчик стоит на ней неподвижно, она прогибается на 0,1 м. Когда же он идет со скоростью |
| $3.5.5.$ Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда мальчик стоит на ней неподвижно, она прогибается на $0{,}1 \,\text{м}$. Когда же он идет со скоростью $3{,}6 \,\text{км/ч}$, то доска начинает так раскачиваться, что он падает в воду. Какова длина шага мальчика? |
| 3,6 км/ч, то доска начинает так раскачиваться, что он падает в воду. Какова |
| |
| длина шага мальчика? |
| |
| |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Условие равновесия мальчика на упругой доске: |
| |
| |
| |
| $kx = mg$ $\tag{1}$ |
| Условие равновесия мальчика на упругой доске: |
| |
| \[ |
| |
| kx = mg \tag{1} |
| |
| \] |
| |
| где \( k \) — жёсткость доски, \( m \) — масса мальчика, \( x \) — прогиб доски. |
| |
| |
| где $k$ - жесткость доски, $m$ - масса мальчика, а $x$ - прогибание доски. |
| |
| |
| |
| Воспользуемся этим уравнением и найдем циклическую частоту собственных колебаний доски: |
| Воспользуемся этим уравнением и найдем циклическую частоту собственных колебаний доски: |
| |
| \[ |
| |
| \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{g}{x}} \tag{2} |
| |
| \] |
| |
| |
| $w_0$ = $\sqrt{k/m}$ = $\sqrt{x/g}$ $\tag{2}$ |
| |
| |
| |
| Тогда частота собственных колебаний доски равна: |
| Тогда частота собственных колебаний доски равна: |
| |
| \[ |
| |
| \nu_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} \tag{3} |
| |
| \] |
| |
| |
| $\nu_0$ = $w0/2\pi $ $\tag{3}$ |
| Когда мальчик движется по доске, у неё возникают вынужденные колебания. Так как доска раскачивается очень сильно, это свидетельствует о возникновении резонанса. |
| |
| |
| Когда мальчик движется по доске, у нее возникают вынужденные колебания. Так как доска раскачивается очень сильно, то это свидетельствует о возникновении резонанса. |
| Условие возникновения резонанса: |
| |
| \[ |
| |
| \nu_0 = \nu \tag{4} |
| |
| \] |
| |
| |
| Условие возникновения резонанса: |
| Выразим частоту движения мальчика \(\nu\) через длину шага \(L\): |
| |
| \[ |
| |
| \nu = \frac{v}{L} \tag{5} |
| |
| \] |
| |
| |
| $\nu_0$ = $\nu $ $\tag{4}$ |
| Тогда из (4) получаем: |
| |
| \[ |
| |
| \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{x}} = \frac{v}{L} |
| |
| \] |
| |
| \[ |
| |
| L = 2\pi v \sqrt{\frac{x}{g}} |
| |
| \] |
| |
| |
| Выразим частоту движения мальчика $\nu$ через длину шага $L$: |
| Подставим значения: |
| |
| \[ |
| |
| v = 3{,}6 \,\text{км/ч} = 1{,}0 \,\text{м/с}, \quad x = 0{,}1 \,\text{м}, \quad g \approx 9{,}8 \,\text{м/с}^2 |
| |
| \] |
| |
| |
| $\nu$ = $\upsilon / L$ $\tag{5}$ |
| \[ |
| |
| L \approx 2\pi \cdot 1{,}0 \cdot \sqrt{\frac{0{,}1}{9{,}8}} \approx 0{,}63 \,\text{м} |
| |
| \] |
| |
| |
| Тогда из 4-ого уравнения имеем: |
| |
| |
| |
| $1/2\pi\sqrt{x/g}$ = $\upsilon / L$ |
| |
| |
| |
| $L = 2\pi\upsilon \sqrt{x/g}$ $\approx$ $63 cм$ |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| |
| $L = 2\pi\upsilon \sqrt{x/g}$ $\approx$ $63 cм$ |
| \[ |
| |
| \boxed{L \approx 63 \,\text{см}} |
| |
| \] |
