| @@ -1,6 +1,6 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $11.6.12.$ Плоский изолированный конденсатор, пластины которого — параллельные металлические круги радиуса $r0$, заполнен веществом, исключая центральную цилиндрическую область радиуса $r$. Конденсатор разряжается через |
| $11.6.12.$ Плоский изолированный конденсатор, пластины которого — параллельные металлические круги радиуса $r_0$, заполнен веществом, исключая центральную цилиндрическую область радиуса $r$. Конденсатор разряжается через |
| это вещество. Ток разрядки равен $I$. Определите зависимость индукции магнитного поля внутри конденсатора от расстояния до оси конденсатора. Постройте |
| это вещество. Ток разрядки равен $I$. Определите зависимость индукции магнитного поля внутри конденсатора от расстояния до оси конденсатора. Постройте |
| график этой зависимости. |
| график этой зависимости. |
|  |
|  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| Из обобщённой теоремы о циркуляции: | | Из обобщённой теоремы о циркуляции: |
| $$ | | $$ |
| \oint Bdl = \mu_0 I_{пр} + \mu_0 I_{см} | | \oint Bdl = \mu_0 I_{пр} + \mu_0 I_{см} |
| $$ | | $$ |
| Начнём с области, где $0\leq x < r$. Из-за отсутсвия вещества ток проводимости равен нулю. Поэтому в этом случае теорема о циркуляции выглядит: | | Начнём с области, где $0\leq x < r$. Из-за отсутсвия вещества ток проводимости равен нулю. Поэтому в этом случае теорема о циркуляции выглядит: |
| $$ | | $$ |
| \oint Bdl = \mu_0 I_{см} | | \oint Bdl = \mu_0 I_{см} |
| $$ | | $$ |
| Найдёи взаимосвязь с током смещения и сумарным током. Из теоремы Гаусса: | | Найдёи взаимосвязь с током смещения и сумарным током. Из теоремы Гаусса: |
| $$ | | $$ |
| E \cdot \pi x^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad q = E \cdot \pi\varepsilon_0 x^2 | | E \cdot \pi x^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad q = E \cdot \pi\varepsilon_0 x^2 |
| $$ | | $$ |
| Изменение этого заряда со временем есть ток смещения: | | Изменение этого заряда со временем есть ток смещения: |
| $$ | | $$ |
| I_{см} = \frac{dq}{dt} = \pi\varepsilon_0 x^2 \frac{dE}{dt} | | I_{см} = \frac{dq}{dt} = \pi\varepsilon_0 x^2 \frac{dE}{dt} |
| $$ | | $$ |
| Если $x = r_0$, тогда $I_{см} = I$, и получается связь: | | Если $x = r_0$, тогда $I_{см} = I$, и получается связь: |
| $$ | | $$ |
| I_{см} = \frac{x^2}{r_0^2}I | | I_{см} = \frac{x^2}{r_0^2}I |
| $$ | | $$ |
| Магнитное поле циркулирует по окружности, поэтому: | | Магнитное поле циркулирует по окружности, поэтому: |
| $$ | | $$ |
| B(x) \cdot 2\pi x = \mu_0 \frac{x^2}{r_0^2}I | | B(x) \cdot 2\pi x = \mu_0 \frac{x^2}{r_0^2}I |
| $$ | | $$ |
| Получаем зависимость индукции от растояния до оси конденсатора при $0\leq x \leq r$: | | Получаем зависимость индукции от растояния до оси конденсатора при $0\leq x \leq r$: |
| $$ | | $$ |
| B(x) = \frac{\mu_0I}{2\pi r_0^2}x | | B(x) = \frac{\mu_0I}{2\pi r_0^2}x |
| $$ | | $$ |
| При $r < x \leq r_0$: | | При $r < x \leq r_0$: |
| $$ | | $$ |
| B(r)\cdot 2\pi x = \mu_0 I \quad \Rightarrow \quad B(x) = \frac{\mu_0I}{2\pi x} | | B(r)\cdot 2\pi x = \mu_0 I \quad \Rightarrow \quad B(x) = \frac{\mu_0I}{2\pi x} |
| $$ | | $$ |
| Максимальное значение индукции: | | Максимальное значение индукции: |
| $$ | | $$ |
| B_0 = \frac{\mu_0Ix}{2\pi r_0^2} | | B_0 = \frac{\mu_0Ix}{2\pi r_0^2} |
| $$ | | $$ |
| График: | | График: |
|  | |  |
| | | |
| ### Ответ | | ### Ответ |
| $$ | | $$ |
| B(x) = \frac{\mu_0I}{2\pi r_0^2}x \quad при \quad 0\leq x \leq r | | B(x) = \frac{\mu_0I}{2\pi r_0^2}x \quad при \quad 0\leq x \leq r |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| B(x) = \frac{\mu_0I}{2\pi x} \quad при \quad r < x \leq r_0 | | B(x) = \frac{\mu_0I}{2\pi x} \quad при \quad r < x \leq r_0 |
| $$ | | $$ |
| | | |