Решение

Комплексный метод. Подведенное напряжение изобразим комплексной функцией:

$$V=V_0\sin\omega t\quad \Leftrightarrow\quad V=V_0e^{i\omega t}.$$

Заметим, что запись полной системы уравнений по правилам Кирхгофа для установившегося режима допускает исключение множителя $e^{i\omega t}$, поэтому в конечном счете можем обозначить комплексной приложенное напряжение

$$V=V_0.$$

Ток в ветвях $R_0C_0$ и $RC$ соответственно

$$I_l=\dfrac{V_0}{R_0+\dfrac{1}{i\omega C_0}}\quad \text{и}\quad I_r=\dfrac{V_0}{R+\dfrac{1}{i\omega C}}.$$

Положим положительные направления этих токов такие, что они стекаются к узлу $B$. Положительное направление напряжения $U_{MN}$ считаем от узла $M$ к узлу $N$. Тогда по второму правилу Кирхгофа:

$$U_{MN}=I_r\dfrac{1}{i\omega C}-I_lR_0.$$

C учетом предыдущего и равенства $R_0C_0=RC$ нетрудно прийти к следующей замечательной записи предыдущей формулы

$$U_{MN}=V_0\left(\dfrac{1-i\omega RC}{1+i\omega RC}\right).\tag{1}$$

Числитель и знаменатель в скобках являются комплексными числами, которые представим в показательной форме

$$U_{MN}=V_0\left(\dfrac{\sqrt{1+(\omega RC)^2\strut}e^{-i\arctan(\omega RC)}}{\sqrt{1+(\omega RC)^2\strut}e^{i\arctan(\omega RC)}}\right),$$

что после сокращений и упрощений дает

$$U_{MN}=V_0e^{-i\cdot2\arctan(\omega RC)}.$$

Теперь переходим к реальной функции времени по соответствию, показанному в начале решения:

$$U_{MN}(t)=V_0\sin\big(\omega t-2\arctan(\omega RC)\big).$$

Выходное (снимаемое) напряжение действительно отличается от входного только фазой. Амплитуда не изменяется.

Примечание: ответ в задачнике отличается потому, что авторы рассматривают подскобочное выражение в формуле $(1)$ как цельное комплексное число, находя его фазу (аргумент) через более сложный арктангенс.