Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

igor edited
View solution History
revision #16054 parent #16052 ← older newer →
ru/11.4.16.md +60 −3
@@ -1,11 +1,68 @@
### Условие
−$11.4.16.$ [Вставьте условие задачи]
+$11.4.16^*.$ Имеется фазовращательная цепь. К клеммам $A$ и $B$ подводится напряжение $V = V_0 \sin \omega t$. Какое напряжение снимается с клемм $M$ и $N$ при $R_0C_0 = RC$?
+![К задаче $11.4.16$|1202x377, 100%](../../img/11.4.16/Снимок экрана 2026-02-09 155530.png)
+
+
### Решение
−11
+Комплексный метод. Подведенное напряжение изобразим комплексной функцией:
+$$
+V=V_0\sin\omega t\quad \Leftrightarrow\quad V=V_0e^{i\omega t}.
+$$
+
+Заметим, что запись полной системы уравнений по правилам Кирхгофа для установившегося режима допускает исключение множителя $e^{i\omega t}$, поэтому в конечном счете можем обозначить комплексной приложенное напряжение
+
+$$
+V=V_0.
+$$
+
+Ток в ветвях $R_0C_0$ и $RC$ соответственно
+
+$$
+I_l=\dfrac{V_0}{R_0+\dfrac{1}{i\omega C_0}}\quad \text{и}\quad
+I_r=\dfrac{V_0}{R+\dfrac{1}{i\omega C}}.
+$$
+
+Положим положительные направления этих токов такие, что они стекаются к узлу $B$. Положительное направление напряжения $U_{MN}$ считаем от узла $M$ к узлу $N$. Тогда по второму правилу Кирхгофа:
+
+$$
+U_{MN}=I_r\dfrac{1}{i\omega C}-I_lR_0.
+$$
+
+C учетом предыдущего и равенства $R_0C_0=RC$ нетрудно прийти к следующей замечательной записи предыдущей формулы
+
+$$
+U_{MN}=V_0\left(\dfrac{1-i\omega RC}{1+i\omega RC}\right).\tag{1}
+$$
+
+Числитель и знаменатель в скобках являются комплексными числами, которые представим в показательной форме
+
+$$
+U_{MN}=V_0\left(\dfrac{\sqrt{1+(\omega RC)^2\strut}e^{-i\arctan(\omega RC)}}{\sqrt{1+(\omega RC)^2\strut}e^{i\arctan(\omega RC)}}\right),
+$$
+
+что после сокращений и упрощений дает
+
+$$
+U_{MN}=V_0e^{-i\cdot2\arctan(\omega RC)}.
+$$
+
+Теперь переходим к реальной функции времени по соответствию, показанному в начале решения:
+
+$$
+U_{MN}(t)=V_0\sin\big(\omega t-2\arctan(\omega RC)\big).
+$$
+
+Выходное (снимаемое) напряжение действительно отличается от входного только фазой. Амплитуда не изменяется.
+
+Примечание: ответ в задачнике отличается потому, что авторы рассматривают подскобочное выражение в формуле $(1)$ как цельное комплексное число, находя его фазу (аргумент) через более сложный арктангенс.
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+U_{MN}(t)=V_0\sin\big(\omega t-2\arctan(\omega RC)\big).
+$$