| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $11.4.16^*.$ Имеется фазовращательная цепь. К клеммам $A$ и $B$ подводится напряжение $V = V_0 \sin \omega t$. Какое напряжение снимается с клемм $M$ и $N$ при $R_0C_0 = RC$? | | $11.4.16^*.$ Имеется фазовращательная цепь. К клеммам $A$ и $B$ подводится напряжение $V = V_0 \sin \omega t$. Какое напряжение снимается с клемм $M$ и $N$ при $R_0C_0 = RC$? |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Комплексный метод. Подведенное напряжение изобразим комплексной функцией: | | Комплексный метод. Подведенное напряжение изобразим комплексной функцией: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| V=V_0\sin\omega t\quad \Leftrightarrow\quad V=V_0e^{i\omega t}. | | V=V_0\sin\omega t\quad \Leftrightarrow\quad V=V_0e^{i\omega t}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Заметим, что запись полной системы уравнений по правилам Кирхгофа для установившегося режима допускает исключение множителя $e^{i\omega t}$, поэтому в конечном счете можем обозначить комплексной приложенное напряжение | | Заметим, что запись полной системы уравнений по правилам Кирхгофа для установившегося режима допускает исключение множителя $e^{i\omega t}$, поэтому в конечном счете можем обозначить комплексной приложенное напряжение |
| | | |
| $$ | | $$ |
| V=V_0. | | V=V_0. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Ток в ветвях $R_0C_0$ и $RC$ соответственно | | Ток в ветвях $R_0C_0$ и $RC$ соответственно |
| | | |
| $$ | | $$ |
| I_l=\dfrac{V_0}{R_0+\dfrac{1}{i\omega C_0}}\quad \text{и}\quad | | I_l=\dfrac{V_0}{R_0+\dfrac{1}{i\omega C_0}}\quad \text{и}\quad |
| I_r=\dfrac{V_0}{R+\dfrac{1}{i\omega C}}. | | I_r=\dfrac{V_0}{R+\dfrac{1}{i\omega C}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Положим положительные направления этих токов такие, что они стекаются к узлу $B$. Положительное направление напряжения $U_{MN}$ считаем от узла $M$ к узлу $N$. Тогда по второму правилу Кирхгофа: | | Положим положительные направления этих токов такие, что они стекаются к узлу $B$. Положительное направление напряжения $U_{MN}$ считаем от узла $M$ к узлу $N$. Тогда по второму правилу Кирхгофа: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U_{MN}=I_r\dfrac{1}{i\omega C}-I_lR_0. | | U_{MN}=I_r\dfrac{1}{i\omega C}-I_lR_0. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| C учетом предыдущего и равенства $R_0C_0=RC$ нетрудно прийти к следующей замечательной записи предыдущей формулы | | C учетом предыдущего и равенства $R_0C_0=RC$ нетрудно прийти к следующей замечательной записи предыдущей формулы |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U_{MN}=V_0\left(\dfrac{1-i\omega RC}{1+i\omega RC}\right).\tag{1} | | U_{MN}=V_0\left(\dfrac{1-i\omega RC}{1+i\omega RC}\right).\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Числитель и знаменатель в скобках являются комплексными числами, которые представим в показательной форме | | Числитель и знаменатель в скобках являются комплексными числами, которые представим в показательной форме |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U_{MN}=V_0\left(\dfrac{\sqrt{1+(\omega RC)^2\strut}e^{-i\arctan(\omega RC)}}{\sqrt{1+(\omega RC)^2\strut}e^{i\arctan(\omega RC)}}\right), | | U_{MN}=V_0\left(\dfrac{\sqrt{1+(\omega RC)^2\strut}e^{-i\arctan(\omega RC)}}{\sqrt{1+(\omega RC)^2\strut}e^{i\arctan(\omega RC)}}\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| что после сокращений и упрощений дает | | что после сокращений и упрощений дает |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U_{MN}=V_0e^{-i\cdot2\arctan(\omega RC)}. | | U_{MN}=V_0e^{-i\cdot2\arctan(\omega RC)}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Теперь переходим к реальной функции времени по соответствию, показанному в начале решения: | | Теперь переходим к реальной функции времени по соответствию, показанному в начале решения: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U_{MN}(t)=V_0\sin\big(\omega t-2\arctan(\omega RC)\big). | | U_{MN}(t)=V_0\sin\big(\omega t-2\arctan(\omega RC)\big). |
| $$ | | $$ |
