| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $11.4.15.$ Подберите индуктивность дросселя так, чтобы амплитуда напряжения на выходе фильтра при частоте $100~\text{Гц}$ была в 10 раз меньше амплитуды на входе. | | $11.4.15.$ Подберите индуктивность дросселя так, чтобы амплитуда напряжения на выходе фильтра при частоте $100~\text{Гц}$ была в 10 раз меньше амплитуды на входе. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Комплексный метод. Положим комплексная амплитуда напряжения на входе имеет нулевую начальную фазу; обозначим ее так | | Комплексный метод. Положим комплексная амплитуда напряжения на входе имеет нулевую начальную фазу; обозначим ее так |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U_{in}e^{i0^\circ}=U_{in}, | | U_{in}e^{i0^\circ}=U_{in}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $U_{in}$ есть модуль амплитуды входного напряжения. | | где $U_{in}$ есть модуль амплитуды входного напряжения. |
| | | |
| Комплексная амплитуда напряжения на выходе может иметь в общем случае тогда отличную от нуля начальную фазу $\varphi$; вот ее изображение | | Комплексная амплитуда напряжения на выходе может иметь в общем случае тогда отличную от нуля начальную фазу $\varphi$; вот ее изображение |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U_{out}e^{i\varphi}, | | U_{out}e^{i\varphi}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $U_{out}$ есть модуль амплитуды выходного напряжения. | | где $U_{out}$ есть модуль амплитуды выходного напряжения. |
| | | |
| По аналогии с цепью постоянного тока для напряжения на выходе имеем | | По аналогии с цепью постоянного тока для напряжения на выходе имеем |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U_{out}e^{i\varphi}=\dfrac{U_{in}}{Z_L+Z_C}Z_C, | | U_{out}e^{i\varphi}=\dfrac{U_{in}}{Z_L+Z_C}Z_C, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $Z_L$ и $Z_C$ есть комплексные сопротивления дросселя (катушки) и конденсатора. | | где $Z_L$ и $Z_C$ есть комплексные сопротивления дросселя (катушки) и конденсатора. |
| | | |
| Учитывая, что $U_{in}=10U_{out}$, предыдущее уравнение упрощается в такое | | Учитывая, что $U_{in}=10U_{out}$, предыдущее уравнение упрощается в такое |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \left(Z_L+Z_C\right)e^{i\varphi}=10Z_C, | | \left(Z_L+Z_C\right)e^{i\varphi}=10Z_C, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| По определению $Z_L=i\omega L$ и $Z_C=\dfrac{1}{i\omega C}$, где $\omega=2\pi\nu$. Тогда из предыдущего после несложных преобразований можем выразить индуктивность: | | По определению $Z_L=i\omega L$ и $Z_C=\dfrac{1}{i\omega C}$, где $\omega=2\pi\nu$. Тогда из предыдущего после несложных преобразований можем выразить индуктивность: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| L=-\dfrac{1}{\omega^2Ce^{i\varphi}}\left(10-e^{i\varphi}\right), | | L=-\dfrac{1}{\omega^2Ce^{i\varphi}}\left(10-e^{i\varphi}\right), |
| $$ | | $$ |
| здесь учтено, что $i^2=-1$. | | здесь учтено, что $i^2=-1$. |
| | | |
| Индуктивность есть величина реальная (без мнимой части) и положительная. Этому удовлетворяет только комплекс $e^{i\varphi}=-1$, что дает фазу выходного напряжения $\varphi=180^\circ$. | | Индуктивность есть величина реальная (без мнимой части) и положительная. Этому удовлетворяет только комплекс $e^{i\varphi}=-1$, что дает фазу выходного напряжения $\varphi=180^\circ$. |
| | | |
| Поэтому | | Поэтому |
| | | |
| $$ | | $$ |
