$11.4.15.$ Подберите индуктивность дросселя так, чтобы амплитуда напряжения на выходе фильтра при частоте $100~\text{Гц}$ была в 10 раз меньше амплитуды на входе.
Комплексный метод. Положим комплексная амплитуда напряжения на входе имеет нулевую начальную фазу; обозначим ее так
$$
U_{in}e^{i0^\circ}=U_{in},
$$
где $U_{in}$ есть модуль амплитуды входного напряжения.
Комплексная амплитуда напряжения на выходе может иметь в общем случае тогда отличную от нуля начальную фазу $\varphi$; вот ее изображение
$$
U_{out}e^{i\varphi},
$$
где $U_{out}$ есть модуль амплитуды выходного напряжения.
По аналогии с цепью постоянного тока для напряжения на выходе имеем
$$
U_{out}e^{i\varphi}=\dfrac{U_{in}}{Z_L+Z_C}Z_C,
$$
где $Z_L$ и $Z_C$ есть комплексные сопротивления дросселя (катушки) и конденсатора.
Учитывая, что $U_{in}=10U_{out}$, предыдущее уравнение упрощается в такое
$$
\left(Z_L+Z_C\right)e^{i\varphi}=10Z_C,
$$
По определению $Z_L=i\omega L$ и $Z_C=\dfrac{1}{i\omega C}$, где $\omega=2\pi\nu$. Тогда из предыдущего после несложных преобразований можем выразить индуктивность:
Индуктивность есть величина реальная (без мнимой части) и положительная. Этому удовлетворяет только комплекс $e^{i\varphi}=-1$, что дает фазу выходного напряжения $\varphi=180^\circ$.
$11.4.15.$ Подберите индуктивность дросселя так, чтобы амплитуда напряжения на выходе фильтра при частоте $100~\text{Гц}$ была в 10 раз меньше амплитуды на входе.
$11.4.15.$ Подберите индуктивность дросселя так, чтобы амплитуда напряжения на выходе фильтра при частоте $100~\text{Гц}$ была в 10 раз меньше амплитуды на входе.
Комплексный метод. Положим комплексная амплитуда напряжения на входе имеет нулевую начальную фазу; обозначим ее так
Комплексный метод. Положим комплексная амплитуда напряжения на входе имеет нулевую начальную фазу; обозначим ее так
$$
$$
U_{in}e^{i0^\circ}=U_{in},
U_{in}e^{i0^\circ}=U_{in},
$$
$$
где $U_{in}$ есть модуль амплитуды входного напряжения.
где $U_{in}$ есть модуль амплитуды входного напряжения.
Комплексная амплитуда напряжения на выходе может иметь в общем случае тогда отличную от нуля начальную фазу $\varphi$; вот ее изображение
Комплексная амплитуда напряжения на выходе может иметь в общем случае тогда отличную от нуля начальную фазу $\varphi$; вот ее изображение
$$
$$
U_{out}e^{i\varphi},
U_{out}e^{i\varphi},
$$
$$
где $U_{out}$ есть модуль амплитуды выходного напряжения.
где $U_{out}$ есть модуль амплитуды выходного напряжения.
По аналогии с цепью постоянного тока для напряжения на выходе имеем
По аналогии с цепью постоянного тока для напряжения на выходе имеем
$$
$$
U_{out}e^{i\varphi}=\dfrac{U_{in}}{Z_L+Z_C}Z_C,
U_{out}e^{i\varphi}=\dfrac{U_{in}}{Z_L+Z_C}Z_C,
$$
$$
где $Z_L$ и $Z_C$ есть комплексные сопротивления дросселя (катушки) и конденсатора.
где $Z_L$ и $Z_C$ есть комплексные сопротивления дросселя (катушки) и конденсатора.
Учитывая, что $U_{in}=10U_{out}$, предыдущее уравнение упрощается в такое
Учитывая, что $U_{in}=10U_{out}$, предыдущее уравнение упрощается в такое
$$
$$
\left(Z_L+Z_C\right)e^{i\varphi}=10Z_C,
\left(Z_L+Z_C\right)e^{i\varphi}=10Z_C,
$$
$$
По определению $Z_L=i\omega L$ и $Z_C=\dfrac{1}{i\omega C}$, где $\omega=2\pi\nu$. Тогда из предыдущего после несложных преобразований можем выразить индуктивность:
По определению $Z_L=i\omega L$ и $Z_C=\dfrac{1}{i\omega C}$, где $\omega=2\pi\nu$. Тогда из предыдущего после несложных преобразований можем выразить индуктивность:
Индуктивность есть величина реальная (без мнимой части) и положительная. Этому удовлетворяет только комплекс $e^{i\varphi}=-1$, что дает фазу выходного напряжения $\varphi=180^\circ$.
Индуктивность есть величина реальная (без мнимой части) и положительная. Этому удовлетворяет только комплекс $e^{i\varphi}=-1$, что дает фазу выходного напряжения $\varphi=180^\circ$.
