Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

igor edited
View solution History
revision #16151 parent #16150 ← older newer →
ru/2.5.22.md +85 −3
@@ -1,11 +1,93 @@
### Условие
−$2.5.22.$ [Вставьте условие задачи]
+$2.5.22.$ Тело массы $m_2$ наезжает со скоростью $v$ на неподвижную первоначально горку, описанную в предыдущей задаче. Найдите скорость этого тела и горки, если оно снова окажется на горизонтальной плоскости.
+
### Решение
−11
+Решение предыдущей задачи [$2.5.21$](/ru/2.5.21) будет похоже на решение этой.
+Найдем общее решение из системы уравнений по законам сохранения импульса и энергии.
+
+$$
+\left\\{
+\begin{aligned}
+&m_2v=m_1u+m_2V,\\\\
+&\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1u^2}{2}+\frac{m_2V^2}{2},
+\end{aligned}
+\right.
+$$
+
+где $m_1$ есть масса горки, $u$ и $V$ есть скорости горки и тела соответственно в конце процесса.
+
+Поделим обе части уравнений на $m_2$ и введем обозначение $k=m_1/m_2$. Решению удовлетворяют две такие скорости горки
+
+$$
+u_1=0\quad \text{и}\quad u_2=\frac{2v}{1+\frac{m_1}{m_2}}.
+$$
+
+Из первого уравнения системы найдем соответствующие им две скорости тела
+
+$$
+V_1=v\quad \text{и}\quad V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).
+$$
+
+Ясно, что горка может в конце остановится ($u=0$), если тело преодолеет ее вершину.
+
+Найдем критическую начальную скорость $v_0$ тела, при которой тело достигнет вершины горки, но не продвинется дальше, так как относительно горки перестанет двигаться (их скорости окажутся равными, обозначим их $w$). Для этого случая снова составляем систему уравнений по законам сохранения импульса и энергии:
+
+$$
+\left\\{
+\begin{aligned}
+&m_2v_0=m_1w+m_2w,\\\\
+&\frac{m_2v_0^2}{2}=\frac{m_1w^2}{2}+\frac{m_2w^2}{2}+m_2gh.
+\end{aligned}
+\right.
+$$
+
+где $h$ есть высота горки.
+
+Критическая скорость отсюда:
+
+$$
+v_0=\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}.
+$$
+
+Итак, при $v>v_0$ тело преодолевает горку:
+
+$$
+u=u_1=0\quad \text{и}\quad V=V_1=v.
+$$
+
+При $v<v_0$ тело не достигает вершины:
+
+$$
+u=u_2=\frac{2v}{1+\frac{m_1}{m_2}}
+\quad \text{и}\quad
+V=V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).
+$$
+
+
+
+
+
+
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+При $v>v_0\equiv\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}$:
+
+$$
+u=0\quad \text{и}\quad V=v.
+$$
+
+При $v<v_0$:
+
+$$
+u=u_2=\frac{2v}{1+\frac{m_1}{m_2}}
+\quad \text{и}\quad
+V=V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).
+$$
+
+Здесь $u$ есть скорость горки, $V$ есть скорость тела.