Edit to “Решение”
ru/2.5.22.md
+2 −2
| ### Условие | |||
| $2.5.22.$ Тело массы $m_2$ наезжает со скоростью $v$ на неподвижную первоначально горку, описанную в предыдущей задаче. Найдите скорость этого тела и горки, если оно снова окажется на горизонтальной плоскости. | |||
| ### Решение | |||
| Решение предыдущей задачи [$2.5.21$](/ru/2.5.21) будет похоже на решение этой. | |||
| Найдем общее решение из системы уравнений по законам сохранения импульса и энергии. | |||
| $$ | |||
| \left\\{ | |||
| \begin{aligned} | |||
| &m_2v=m_1u+m_2V,\\\\ | |||
| &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1u^2}{2}+\frac{m_2V^2}{2}, | |||
| \end{aligned} | |||
| \right. | |||
| $$ | |||
| где $m_1$ есть масса горки, $u$ и $V$ есть скорости горки и тела соответственно в конце процесса. | |||
| @@ -23,7 +23,7 @@Решение | |||
| Поделим обе части уравнений на $m_2$ и введем обозначение $k=m_1/m_2$. Решению удовлетворяют две такие скорости горки | |||
| $$ | |||
| − | u_1=0\quad \text{и}\quad u_2=\frac{2 | ||
| + | u_1=0\quad \text{и}\quad u_2=v\frac{2m_2}{m_1+m_2}. | ||
| $$ | |||
| Из первого уравнения системы найдем соответствующие им две скорости тела | |||
| $$ | |||
| V_1=v\quad \text{и}\quad V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right). | |||
| $$ | |||
| Ясно, что горка может в конце остановится ($u=0$), если тело преодолеет ее вершину. | |||
| Найдем критическую начальную скорость $v_0$ тела, при которой тело достигнет вершины горки, но не продвинется дальше, так как относительно горки перестанет двигаться (их скорости окажутся равными, обозначим их $w$). Для этого случая снова составляем систему уравнений по законам сохранения импульса и энергии: | |||
| $$ | |||
| \left\\{ | |||
| \begin{aligned} | |||
| &m_2v_0=m_1w+m_2w,\\\\ | |||
| &\frac{m_2v_0^2}{2}=\frac{m_1w^2}{2}+\frac{m_2w^2}{2}+m_2gh. | |||
| \end{aligned} | |||
| \right. | |||
| $$ | |||
| где $h$ есть высота горки. | |||
| Критическая скорость отсюда: | |||
| $$ | |||
| v_0=\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}. | |||
| $$ | |||
| Итак, при $v>v_0$ тело преодолевает горку: | |||
| $$ | |||
| u=u_1=0\quad \text{и}\quad V=V_1=v. | |||
| $$ | |||
| @@ -62,7 +62,7 @@Решение | |||
| При $v<v_0$ тело не достигает вершины: | |||
| $$ | |||
| − | u=u_2=\frac{2 | ||
| + | u=u_2=v\frac{2m_2}{m_1+m_2} | ||
| \quad \text{и}\quad | |||
| V=V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right). | |||
| $$ | |||
| #### Ответ | |||
| При $v>v_0\equiv\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}$: | |||
| $$ | |||
| u=0\quad \text{и}\quad V=v. | |||
| $$ | |||
| При $v<v_0$: | |||
| $$ | |||
| u=u_2=\frac{2v}{1+\frac{m_1}{m_2}} | |||
| \quad \text{и}\quad | |||
| V=V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right). | |||
| $$ | |||
| Здесь $u$ есть скорость горки, $V$ есть скорость тела. | |||
| unchanged lines 25 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.5.22.$ Тело массы $m_2$ наезжает со скоростью $v$ на неподвижную первоначально горку, описанную в предыдущей задаче. Найдите скорость этого тела и горки, если оно снова окажется на горизонтальной плоскости. | $2.5.22.$ Тело массы $m_2$ наезжает со скоростью $v$ на неподвижную первоначально горку, описанную в предыдущей задаче. Найдите скорость этого тела и горки, если оно снова окажется на горизонтальной плоскости. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Решение предыдущей задачи [$2.5.21$](/ru/2.5.21) будет похоже на решение этой. | Решение предыдущей задачи [$2.5.21$](/ru/2.5.21) будет похоже на решение этой. | ||
| Найдем общее решение из системы уравнений по законам сохранения импульса и энергии. | Найдем общее решение из системы уравнений по законам сохранения импульса и энергии. | ||
| $$ | $$ | ||
| \left\\{ | \left\\{ | ||
| \begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
| &m_2v=m_1u+m_2V,\\\\ | &m_2v=m_1u+m_2V,\\\\ | ||
| &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1u^2}{2}+\frac{m_2V^2}{2}, | &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1u^2}{2}+\frac{m_2V^2}{2}, | ||
| \end{aligned} | \end{aligned} | ||
| \right. | \right. | ||
| $$ | $$ | ||
| где $m_1$ есть масса горки, $u$ и $V$ есть скорости горки и тела соответственно в конце процесса. | где $m_1$ есть масса горки, $u$ и $V$ есть скорости горки и тела соответственно в конце процесса. | ||
| @@ -23,7 +23,7 @@Решение | |||
| Поделим обе части уравнений на $m_2$ и введем обозначение $k=m_1/m_2$. Решению удовлетворяют две такие скорости горки | Поделим обе части уравнений на $m_2$ и введем обозначение $k=m_1/m_2$. Решению удовлетворяют две такие скорости горки | ||
| $$ | $$ | ||
| u_1=0\quad \text{и}\quad u_2=\frac{2 |
u_1=0\quad \text{и}\quad u_2=v\frac{2m_2}{m_1+m_2}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Из первого уравнения системы найдем соответствующие им две скорости тела | Из первого уравнения системы найдем соответствующие им две скорости тела | ||
| $$ | $$ | ||
| V_1=v\quad \text{и}\quad V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right). | V_1=v\quad \text{и}\quad V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right). | ||
| $$ | $$ | ||
| Ясно, что горка может в конце остановится ($u=0$), если тело преодолеет ее вершину. | Ясно, что горка может в конце остановится ($u=0$), если тело преодолеет ее вершину. | ||
| Найдем критическую начальную скорость $v_0$ тела, при которой тело достигнет вершины горки, но не продвинется дальше, так как относительно горки перестанет двигаться (их скорости окажутся равными, обозначим их $w$). Для этого случая снова составляем систему уравнений по законам сохранения импульса и энергии: | Найдем критическую начальную скорость $v_0$ тела, при которой тело достигнет вершины горки, но не продвинется дальше, так как относительно горки перестанет двигаться (их скорости окажутся равными, обозначим их $w$). Для этого случая снова составляем систему уравнений по законам сохранения импульса и энергии: | ||
| $$ | $$ | ||
| \left\\{ | \left\\{ | ||
| \begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
| &m_2v_0=m_1w+m_2w,\\\\ | &m_2v_0=m_1w+m_2w,\\\\ | ||
| &\frac{m_2v_0^2}{2}=\frac{m_1w^2}{2}+\frac{m_2w^2}{2}+m_2gh. | &\frac{m_2v_0^2}{2}=\frac{m_1w^2}{2}+\frac{m_2w^2}{2}+m_2gh. | ||
| \end{aligned} | \end{aligned} | ||
| \right. | \right. | ||
| $$ | $$ | ||
| где $h$ есть высота горки. | где $h$ есть высота горки. | ||
| Критическая скорость отсюда: | Критическая скорость отсюда: | ||
| $$ | $$ | ||
| v_0=\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}. | v_0=\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Итак, при $v>v_0$ тело преодолевает горку: | Итак, при $v>v_0$ тело преодолевает горку: | ||
| $$ | $$ | ||
| u=u_1=0\quad \text{и}\quad V=V_1=v. | u=u_1=0\quad \text{и}\quad V=V_1=v. | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -62,7 +62,7 @@Решение | |||
| При $v<v_0$ тело не достигает вершины: | При $v<v_0$ тело не достигает вершины: | ||
| $$ | $$ | ||
| u=u_2=\frac{2 |
u=u_2=v\frac{2m_2}{m_1+m_2} | ||
| \quad \text{и}\quad | \quad \text{и}\quad | ||
| V=V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right). | V=V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right). | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| При $v>v_0\equiv\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}$: | При $v>v_0\equiv\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}$: | ||
| $$ | $$ | ||
| u=0\quad \text{и}\quad V=v. | u=0\quad \text{и}\quad V=v. | ||
| $$ | $$ | ||
| При $v<v_0$: | При $v<v_0$: | ||
| $$ | $$ | ||
| u=u_2=\frac{2v}{1+\frac{m_1}{m_2}} | u=u_2=\frac{2v}{1+\frac{m_1}{m_2}} | ||
| \quad \text{и}\quad | \quad \text{и}\quad | ||
| V=V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right). | V=V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right). | ||
| $$ | $$ | ||
| Здесь $u$ есть скорость горки, $V$ есть скорость тела. | Здесь $u$ есть скорость горки, $V$ есть скорость тела. | ||
| unchanged lines 25 | |||