Решение

Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах вне основного слоя пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.

Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$): $C_1$, $C_2$, $\ldots$ , $C_n$.

Выберем $i$-й конденсатор с внутренним радиусом $r_i$ и, используя результат решения предыдущей задачи $6.4.7$, запишем его емкость

$$C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r_i}\right)}.$$

Так как $\dfrac{d}{r_i}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена

$$\ln\left(1+\frac{d}{r_i}\right)\approx\frac{d}{r_i}.$$

Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается:

$$C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i.$$

Заметим, что можно записать и короче

$$C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i,$$

где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор.

Емкость рулона:

$$C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i,$$

откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует

$$C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.$$

Примечание: альтернативное решение в аналогичной постановке опубликовано в [1].

У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.

В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона.