Решение

Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в пособии [1]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.

Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи $6.4.7$, запишем его емкость

$$C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}.$$

Так как $\dfrac{d}{r}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена

$$\ln\left(1+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}.$$

Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается:

$$C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r.$$

Метод индукции [2]. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$).

Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем

\begin{gather*} C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}R,\\ C_2=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+d\right),\\ C_3=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+2d\right). \end{gather*}

Соответственно, для $n$-го конденсатора:

$$C_n=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+(n-1)d\right).$$

Итак, сложим емкости отдельных конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$ , $C_n$ и получим емкость рулонного конденсатора

$$C=\sum_i^nC_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right);$$

здесь использовали формулу суммы арифметической прогрессии:

$$1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Количество конденсаторов $n$ в рулоне вычислим также по методу индукции

$$l=2\pi R+2\pi (R+d)+2\pi (R+2d)+\ldots+2\pi \left(R+(n-1)d\right)$$

и компактно

$$l=2\pi\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right);$$

здесь опять использовали формулу суммы арифметической прогрессии.

Подскобочное выражение в предыдущей формуле равно подскобочному выражению в формуле емкости и при подстановке эта самая емкость получается как полное приближение плоского конденсатора

$$C=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\frac{l}{2\pi}=\frac{\varepsilon_0al}{d}.$$

Примечание: решение задачи в несколько измененной формулировке предлагается в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала) [3–6].

У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.

В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона.

Припоминается, что решение задачи о сплошном рулоне также давало приближение плоского конденсатора даже при интегрировании элементарных цилиндрических емкостей.