Edit to “Решение”

emixter edited Mar 21, 2026, 2:08 PM

View solution History

revision #17719 parent #17718 ← older newer →

ru/2.8.33.md +13 −0

			### Условие

			$2.8.33.$ На горизонтальной поверхности стоит куб массы $m$. С какой минимальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он начал опрокидываться без проскальзывания, если коэффициент трения куба о плоскость равен $\mu$?

			![К задаче $2.8.33$\|180x105, 30%](../../img/2.8.33/2.8.33.png)

			### Решение

			![К задаче $2.8.33$\|1113x695, 80%](../../img/2.8.33/2.8.33_1.jpeg)

			Обозначим длину ребра куба $a$, а угол под каким тянут куб $\alpha$. На рисунке отображены силы, действующие на куб в критический момент, когда куб начинает опрокидываться. Запишим условие опрокидывания куба относительно переднего нижнего ребра (проекция в точку О) - момент силы $\vec F$ должен быть равен моменту силы тяжести $m\vec g$:

			$$F_{x}a=mg\frac{a}{2}\Longrightarrow Fa\cos\alpha=mg\frac{a}{2} $$

			Отсюда:

			$$F=\frac{mg}{2\cos\alpha} \tag{1}$$

			Куб не должен скользить, поэтому запишим условие отсутствия скольжения:

			$$F_{x}\le F_{тр}\Longrightarrow F\cos\alpha\le \mu N\Longrightarrow F\cos\alpha\le\mu(mg+F\sin\alpha) \tag{2}$$

		@@ -23,8 +23,21 @@Решение
			Подставим (1) в (2):

			$$\frac{mg}{2\cos\alpha}\cos\alpha\le\mu(mg+\frac{mg}{2\cos\alpha}\sin\alpha)$$
		+	$$\frac{1}{2}\le\mu(1+\frac{1}{2}\tan\alpha)$$
		+
		+	Рассмотрю граничный случай:
		+
		+	$$\frac{1}{2}=\mu(1+\frac{1}{2}\tan\alpha)$$
		+
		+	Отсюда:
		+
		+	$$\tan\alpha=\frac{1}{\mu}-2=\frac{1-2\mu}{\mu}$$
		+
		+	Воспользуемся тригонометрической формулой:
		+
		+	$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}}$$

			#### Ответ

			$$F=\frac{mg}{2}\text{ , }\alpha=0\text{ при }\mu\ge \frac{1}{2}$$
			$$F=\frac{mg}{2\mu}\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1}\text{ , }\tan\alpha=\frac{1-2\mu}{\mu}\text{ при }\mu\lt \frac{1}{2}$$

	### Условие		### Условие

	$2.8.33.$ На горизонтальной поверхности стоит куб массы $m$. С какой минимальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он начал опрокидываться без проскальзывания, если коэффициент трения куба о плоскость равен $\mu$?		$2.8.33.$ На горизонтальной поверхности стоит куб массы $m$. С какой минимальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он начал опрокидываться без проскальзывания, если коэффициент трения куба о плоскость равен $\mu$?

	![К задаче $2.8.33$\|180x105, 30%](../../img/2.8.33/2.8.33.png)		![К задаче $2.8.33$\|180x105, 30%](../../img/2.8.33/2.8.33.png)

	### Решение		### Решение

	![К задаче $2.8.33$\|1113x695, 80%](../../img/2.8.33/2.8.33_1.jpeg)		![К задаче $2.8.33$\|1113x695, 80%](../../img/2.8.33/2.8.33_1.jpeg)

	Обозначим длину ребра куба $a$, а угол под каким тянут куб $\alpha$. На рисунке отображены силы, действующие на куб в критический момент, когда куб начинает опрокидываться. Запишим условие опрокидывания куба относительно переднего нижнего ребра (проекция в точку О) - момент силы $\vec F$ должен быть равен моменту силы тяжести $m\vec g$:		Обозначим длину ребра куба $a$, а угол под каким тянут куб $\alpha$. На рисунке отображены силы, действующие на куб в критический момент, когда куб начинает опрокидываться. Запишим условие опрокидывания куба относительно переднего нижнего ребра (проекция в точку О) - момент силы $\vec F$ должен быть равен моменту силы тяжести $m\vec g$:

	$$F_{x}a=mg\frac{a}{2}\Longrightarrow Fa\cos\alpha=mg\frac{a}{2} $$		$$F_{x}a=mg\frac{a}{2}\Longrightarrow Fa\cos\alpha=mg\frac{a}{2} $$

	Отсюда:		Отсюда:

	$$F=\frac{mg}{2\cos\alpha} \tag{1}$$		$$F=\frac{mg}{2\cos\alpha} \tag{1}$$

	Куб не должен скользить, поэтому запишим условие отсутствия скольжения:		Куб не должен скользить, поэтому запишим условие отсутствия скольжения:

	$$F_{x}\le F_{тр}\Longrightarrow F\cos\alpha\le \mu N\Longrightarrow F\cos\alpha\le\mu(mg+F\sin\alpha) \tag{2}$$		$$F_{x}\le F_{тр}\Longrightarrow F\cos\alpha\le \mu N\Longrightarrow F\cos\alpha\le\mu(mg+F\sin\alpha) \tag{2}$$

	@@ -23,8 +23,21 @@Решение
	Подставим (1) в (2):		Подставим (1) в (2):

	$$\frac{mg}{2\cos\alpha}\cos\alpha\le\mu(mg+\frac{mg}{2\cos\alpha}\sin\alpha)$$		$$\frac{mg}{2\cos\alpha}\cos\alpha\le\mu(mg+\frac{mg}{2\cos\alpha}\sin\alpha)$$
			$$\frac{1}{2}\le\mu(1+\frac{1}{2}\tan\alpha)$$

			Рассмотрю граничный случай:

			$$\frac{1}{2}=\mu(1+\frac{1}{2}\tan\alpha)$$

			Отсюда:

			$$\tan\alpha=\frac{1}{\mu}-2=\frac{1-2\mu}{\mu}$$

			Воспользуемся тригонометрической формулой:

			$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}}$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$F=\frac{mg}{2}\text{ , }\alpha=0\text{ при }\mu\ge \frac{1}{2}$$		$$F=\frac{mg}{2}\text{ , }\alpha=0\text{ при }\mu\ge \frac{1}{2}$$
	$$F=\frac{mg}{2\mu}\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1}\text{ , }\tan\alpha=\frac{1-2\mu}{\mu}\text{ при }\mu\lt \frac{1}{2}$$		$$F=\frac{mg}{2\mu}\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1}\text{ , }\tan\alpha=\frac{1-2\mu}{\mu}\text{ при }\mu\lt \frac{1}{2}$$