Edit to “Решение”
ru/2.8.33.md
+24 −3
| ### Условие | |||
| $2.8.33.$ На горизонтальной поверхности стоит куб массы $m$. С какой минимальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он начал опрокидываться без проскальзывания, если коэффициент трения куба о плоскость равен $\mu$? | |||
|  | |||
| @@ -6,7 +6,7 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| − |  | ||
| Обозначим длину ребра куба $a$, а угол под каким тянут куб $\alpha$. На рисунке отображены силы, действующие на куб в критический момент, когда куб начинает опрокидываться. Запишим условие опрокидывания куба относительно переднего нижнего ребра (проекция в точку О) - момент силы $\vec F$ должен быть равен моменту силы тяжести $m\vec g$: | |||
| $$F_{x}a=mg\frac{a}{2}\Longrightarrow Fa\cos\alpha=mg\frac{a}{2} $$ | |||
| Отсюда: | |||
| $$F=\frac{mg}{2\cos\alpha} \tag{1}$$ | |||
| Куб не должен скользить, поэтому запишим условие отсутствия скольжения: | |||
| $$F_{x}\le F_{тр}\Longrightarrow F\cos\alpha\le \mu N\Longrightarrow F\cos\alpha\le\mu(mg+F\sin\alpha) \tag{2}$$ | |||
| Подставим (1) в (2): | |||
| $$\frac{mg}{2\cos\alpha}\cos\alpha\le\mu(mg+\frac{mg}{2\cos\alpha}\sin\alpha)$$ | |||
| $$\frac{1}{2}\le\mu(1+\frac{1}{2}\tan\alpha)$$ | |||
| Рассмотрю граничный случай: | |||
| $$\frac{1}{2}=\mu(1+\frac{1}{2}\tan\alpha)$$ | |||
| @@ -31,13 +31,34 @@Решение | |||
| Отсюда: | |||
| − | $$\tan\alpha=\frac{1}{\mu}-2=\frac{1-2\mu}{\mu}$$ | ||
| + | $$\tan\alpha=\frac{1}{\mu}-2=\frac{1-2\mu}{\mu} \tag{3}$$ | ||
| Воспользуемся тригонометрической формулой: | |||
| − | $$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}}$$ | ||
| + | $$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}} \tag{4}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим (3) в (4): | ||
| + | |||
| + | $$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\left( \frac{1-2\mu}{\mu} \right)^{2}}}=\frac{\mu}{\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1}} \tag{5}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим (5) в (1): | ||
| + | |||
| + | $$F=\frac{mg}{2\mu}\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1} \tag{6}$$ | ||
| + | |||
| + | Теперь определим условие реализуемости: | ||
| + | |||
| + | $$\tan\alpha\gt 0\Longrightarrow \frac{1-2\mu}{\mu}\gt 0\Longrightarrow \mu\lt \frac{1}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | То есть если $\mu\lt \frac{1}{2}$ - можно подобрать угол, чтобы было опрокидывание без скольжения. Если $\mu\ge \frac{1}{2}$ - куб опрокинется даже при горизонтальной тяге (трения хватает), при этом $\alpha=0$. Тогда формула для силы (1) примет вид: | ||
| + | |||
| + | $$F=\frac{mg}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Итак, | ||
| + | |||
| + | $$F=\frac{mg}{2}\text{ , }\alpha=0\text{ при }\mu\ge \frac{1}{2}$$ | ||
| + | $$F=\frac{mg}{2\mu}\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1}\text{ , }\tan\alpha=\frac{1-2\mu}{\mu}\text{ при }\mu\lt \frac{1}{2}$$ | ||
| #### Ответ | |||
| $$F=\frac{mg}{2}\text{ , }\alpha=0\text{ при }\mu\ge \frac{1}{2}$$ | |||
| $$F=\frac{mg}{2\mu}\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1}\text{ , }\tan\alpha=\frac{1-2\mu}{\mu}\text{ при }\mu\lt \frac{1}{2}$$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.8.33.$ На горизонтальной поверхности стоит куб массы $m$. С какой минимальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он начал опрокидываться без проскальзывания, если коэффициент трения куба о плоскость равен $\mu$? | $2.8.33.$ На горизонтальной поверхности стоит куб массы $m$. С какой минимальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он начал опрокидываться без проскальзывания, если коэффициент трения куба о плоскость равен $\mu$? | ||
|  |  | ||
| @@ -6,7 +6,7 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | ||
| Обозначим длину ребра куба $a$, а угол под каким тянут куб $\alpha$. На рисунке отображены силы, действующие на куб в критический момент, когда куб начинает опрокидываться. Запишим условие опрокидывания куба относительно переднего нижнего ребра (проекция в точку О) - момент силы $\vec F$ должен быть равен моменту силы тяжести $m\vec g$: | Обозначим длину ребра куба $a$, а угол под каким тянут куб $\alpha$. На рисунке отображены силы, действующие на куб в критический момент, когда куб начинает опрокидываться. Запишим условие опрокидывания куба относительно переднего нижнего ребра (проекция в точку О) - момент силы $\vec F$ должен быть равен моменту силы тяжести $m\vec g$: | ||
| $$F_{x}a=mg\frac{a}{2}\Longrightarrow Fa\cos\alpha=mg\frac{a}{2} $$ | $$F_{x}a=mg\frac{a}{2}\Longrightarrow Fa\cos\alpha=mg\frac{a}{2} $$ | ||
| Отсюда: | Отсюда: | ||
| $$F=\frac{mg}{2\cos\alpha} \tag{1}$$ | $$F=\frac{mg}{2\cos\alpha} \tag{1}$$ | ||
| Куб не должен скользить, поэтому запишим условие отсутствия скольжения: | Куб не должен скользить, поэтому запишим условие отсутствия скольжения: | ||
| $$F_{x}\le F_{тр}\Longrightarrow F\cos\alpha\le \mu N\Longrightarrow F\cos\alpha\le\mu(mg+F\sin\alpha) \tag{2}$$ | $$F_{x}\le F_{тр}\Longrightarrow F\cos\alpha\le \mu N\Longrightarrow F\cos\alpha\le\mu(mg+F\sin\alpha) \tag{2}$$ | ||
| Подставим (1) в (2): | Подставим (1) в (2): | ||
| $$\frac{mg}{2\cos\alpha}\cos\alpha\le\mu(mg+\frac{mg}{2\cos\alpha}\sin\alpha)$$ | $$\frac{mg}{2\cos\alpha}\cos\alpha\le\mu(mg+\frac{mg}{2\cos\alpha}\sin\alpha)$$ | ||
| $$\frac{1}{2}\le\mu(1+\frac{1}{2}\tan\alpha)$$ | $$\frac{1}{2}\le\mu(1+\frac{1}{2}\tan\alpha)$$ | ||
| Рассмотрю граничный случай: | Рассмотрю граничный случай: | ||
| $$\frac{1}{2}=\mu(1+\frac{1}{2}\tan\alpha)$$ | $$\frac{1}{2}=\mu(1+\frac{1}{2}\tan\alpha)$$ | ||
| @@ -31,13 +31,34 @@Решение | |||
| Отсюда: | Отсюда: | ||
| $$\tan\alpha=\frac{1}{\mu}-2=\frac{1-2\mu}{\mu}$$ | $$\tan\alpha=\frac{1}{\mu}-2=\frac{1-2\mu}{\mu} \tag{3}$$ | ||
| Воспользуемся тригонометрической формулой: | Воспользуемся тригонометрической формулой: | ||
| $$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}}$$ | $$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}} \tag{4}$$ | ||
| Подставим (3) в (4): | |||
| $$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\left( \frac{1-2\mu}{\mu} \right)^{2}}}=\frac{\mu}{\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1}} \tag{5}$$ | |||
| Подставим (5) в (1): | |||
| $$F=\frac{mg}{2\mu}\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1} \tag{6}$$ | |||
| Теперь определим условие реализуемости: | |||
| $$\tan\alpha\gt 0\Longrightarrow \frac{1-2\mu}{\mu}\gt 0\Longrightarrow \mu\lt \frac{1}{2}$$ | |||
| То есть если $\mu\lt \frac{1}{2}$ - можно подобрать угол, чтобы было опрокидывание без скольжения. Если $\mu\ge \frac{1}{2}$ - куб опрокинется даже при горизонтальной тяге (трения хватает), при этом $\alpha=0$. Тогда формула для силы (1) примет вид: | |||
| $$F=\frac{mg}{2}$$ | |||
| Итак, | |||
| $$F=\frac{mg}{2}\text{ , }\alpha=0\text{ при }\mu\ge \frac{1}{2}$$ | |||
| $$F=\frac{mg}{2\mu}\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1}\text{ , }\tan\alpha=\frac{1-2\mu}{\mu}\text{ при }\mu\lt \frac{1}{2}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$F=\frac{mg}{2}\text{ , }\alpha=0\text{ при }\mu\ge \frac{1}{2}$$ | $$F=\frac{mg}{2}\text{ , }\alpha=0\text{ при }\mu\ge \frac{1}{2}$$ | ||
| $$F=\frac{mg}{2\mu}\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1}\text{ , }\tan\alpha=\frac{1-2\mu}{\mu}\text{ при }\mu\lt \frac{1}{2}$$ | $$F=\frac{mg}{2\mu}\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1}\text{ , }\tan\alpha=\frac{1-2\mu}{\mu}\text{ при }\mu\lt \frac{1}{2}$$ | ||