Решение

Обозначим длину ребра куба $a$, а угол под каким тянут куб $\alpha$. На рисунке отображены силы, действующие на куб в критический момент, когда куб начинает опрокидываться. Запишим условие опрокидывания куба относительно переднего нижнего ребра (проекция в точку О) - момент силы $\vec F$ должен быть равен моменту силы тяжести $m\vec g$:

$$F_{x}a=mg\frac{a}{2}\Longrightarrow Fa\cos\alpha=mg\frac{a}{2}$$

Отсюда:

$$F=\frac{mg}{2\cos\alpha} \tag{1}$$

Куб не должен скользить, поэтому запишим условие отсутствия скольжения:

$$F_{x}\le F_{тр}\Longrightarrow F\cos\alpha\le \mu N\Longrightarrow F\cos\alpha\le\mu(mg+F\sin\alpha) \tag{2}$$

Подставим (1) в (2):

$$\frac{mg}{2\cos\alpha}\cos\alpha\le\mu(mg+\frac{mg}{2\cos\alpha}\sin\alpha)$$
$$\frac{1}{2}\le\mu(1+\frac{1}{2}\tan\alpha)$$

Рассмотрю граничный случай:

$$\frac{1}{2}=\mu(1+\frac{1}{2}\tan\alpha)$$

Отсюда:

$$\tan\alpha=\frac{1}{\mu}-2=\frac{1-2\mu}{\mu} \tag{3}$$

Воспользуемся тригонометрической формулой:

$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}} \tag{4}$$

Подставим (3) в (4):

$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\left( \frac{1-2\mu}{\mu} \right)^{2}}}=\frac{\mu}{\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1}} \tag{5}$$

Подставим (5) в (1):

$$F=\frac{mg}{2\mu}\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1} \tag{6}$$

Теперь определим условие реализуемости:

$$\tan\alpha\gt 0\Longrightarrow \frac{1-2\mu}{\mu}\gt 0\Longrightarrow \mu\lt \frac{1}{2}$$

То есть если $\mu\lt \frac{1}{2}$ - можно подобрать угол, чтобы было опрокидывание без скольжения. Если $\mu\ge \frac{1}{2}$ - куб опрокинется даже при горизонтальной тяге (трения хватает), при этом $\alpha=0$. Тогда формула для силы (1) примет вид:

$$F=\frac{mg}{2}$$

Итак,

$$F=\frac{mg}{2}\text{ , }\alpha=0\text{ при }\mu\ge \frac{1}{2}$$
$$F=\frac{mg}{2\mu}\sqrt{5\mu^{2}-4\mu+1}\text{ , }\tan\alpha=\frac{1-2\mu}{\mu}\text{ при }\mu\lt \frac{1}{2}$$