| @@ -1,13 +1,54 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $10.1.27.$ [Вставьте условие задачи] |
| $10.1.27^*.$ Какая часть электронов, испущенных во все стороны радиоактивной пылинкой, расположенной на оси магнитной ловушки, останется внутри этой |
| |
| ловушки? Индукция магнитного поля внутри ловушки $B_1$, вне ее $B_2 > B_1$. |
| |
| |
| |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| Так как частицы вылетают во все стороны, то отношение количества между оставшимися в ловушке электронами и их общим количеством будет определятся отношением площади части сферы, в которую попали оставшиеся в ловушке электроны, к общей площади сферы: |
| |
| $$ |
| |
| n = \frac{S}{S_0} = \frac{1-\sin{\theta_{max}}}{2} |
| |
| $$ |
| |
| где $\theta_{max}$ - максимальный угол между осью симметрии ловушки и скорость электрона, при котором он не покинет ловушку. |
| |
| |
| Какая часть электронов, испущенных во все стороны радиоактивной пылинкой, расположенной на оси магнитной ловушки, останется внутри этой |
| Воспользуемся теоремой из задачи 10.1.26: |
| ловушки? Индукция магнитного поля внутри ловушки B1, вне ее B2 > B1. |
| $$ |
| |
| dL = -\frac{e}{2\pi}d\Phi |
| |
| $$ |
| |
| Момент импульса: |
| |
| $$ |
| |
| L = mv_{||}r |
| |
| $$ |
| |
| Поток вектора магнитной индукции: |
| |
| $$ |
| |
| \Phi = B\pi r^2 |
| |
| $$ |
| |
| Раскроем выражение для связи изменения момента импульса и изменения потока по правилу произведения: |
| |
| $$ |
| |
| rdv_{||} + v_{||}dr = -\frac{e}{2m}(r^2dB + 2rBdr) |
| |
| $$ |
| |
| Используем второй закон Ньютона для вращательного движения заряженных частиц по окружности для связи скорости, индукции и радиуса: |
| |
| $$ |
| |
| \frac{mv_{||}^2}{r} = ev_{||}B |
| |
| $$ |
| |
| Комбинируя два последних выражения, получаем дифференциальное уравнение: |
| |
| $$ |
| |
| \frac{dv_{||}}{v_{||}} = \frac{1}{2}\frac{dB}{B} |
| |
| $$ |
| |
| решение которого является: |
| |
| $$ |
| |
| \frac{v_{||}}{\sqrt{B}} = const |
| |
| $$ |
| |
| В начальный момент при предельном угле скорость $v_{||}$ равна $v\sin(\theta_{max})$, $v$ - полная скорость, а индукция - $B_1$. В конце, так как магнитное поле не совершает работу, в предельном случае скорость $v_{||}$ равна $v$, а индукция - $B_2$. Тогда: |
| |
| $$ |
| |
| \sin(\theta_{max}) = \sqrt{\frac{B_1}{B_2}} |
| |
| $$ |
| |
| Тогда часть оставшихся электронов в ловушке находится: |
| |
| $$ |
| |
| n = \frac{1-\sqrt{\frac{B_1}{B_2}}}{2} |
| |
| $$ |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| $$ |
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| \boxed{n = \frac{1-\sqrt{\frac{B_1}{B_2}}}{2}} |
| |
| $$ |
