Так как частицы вылетают во все стороны, то отношение количества между оставшимися в ловушке электронами и их общим количеством будет определятся отношением площади части сферы, в которую попали оставшиеся в ловушке электроны, к общей площади сферы:
$$
n = \frac{S}{S_0} = \frac{1-\sin{\theta_{max}}}{2}
$$
где $\theta_{max}$ - максимальный угол между осью симметрии ловушки и скорость электрона, при котором он не покинет ловушку.
Воспользуемся теоремой из задачи 10.1.26:
$$
dL = -\frac{e}{2\pi}d\Phi
$$
Момент импульса:
$$
L = mv_{||}r
$$
Поток вектора магнитной индукции:
$$
\Phi = B\pi r^2
$$
Раскроем выражение для связи изменения момента импульса и изменения потока по правилу произведения:
Используем второй закон Ньютона для вращательного движения заряженных частиц по окружности для связи скорости, индукции и радиуса:
$$
\frac{mv_{||}^2}{r} = ev_{||}B
$$
Комбинируя два последних выражения, получаем дифференциальное уравнение:
$$
\frac{dv_{||}}{v_{||}} = \frac{1}{2}\frac{dB}{B}
$$
решение которого является:
$$
\frac{v_{||}}{\sqrt{B}} = const
$$
В начальный момент при предельном угле скорость $v_{||}$ равна $v\sin(\theta_{max})$, $v$ - полная скорость, а индукция - $B_1$. В конце, так как магнитное поле не совершает работу, в предельном случае скорость $v_{||}$ равна $v$, а индукция - $B_2$. Тогда:
$$
\sin(\theta_{max}) = \sqrt{\frac{B_1}{B_2}}
$$
Тогда часть оставшихся электронов в ловушке находится:
@@ -48,7 +48,74 @@Решение
$$
n = \frac{1-\sqrt{\frac{B_1}{B_2}}}{2}
$$
+
+
### Альтернативное решение
+
+
Свои замечания к решению автора я отобразил в раздела "Обсуждение". Ответов нет, поэтому решил привести своё решение. В этой задаче рассматривается физика в пробкотроне.
Рассмотрим движение отдельного электрона массы $m$ в осесимметричном магнитном поле. Вектор скорости частицы в любой точке можно разложить на две составляющие: $\upsilon_{\parallel}$ - продольная скорость направленная вдоль силовой линии магнитного поля; $\upsilon_{\bot}$ - поперечная скорость в плоскости, перпендикулярной полю.
+
+
На электрон действует сила Лоренца. Поскольку эта сила всегда перпендикулярна вектору скорости $\vec\upsilon$, она не совершает работы. Следовательно, кинетическая энергия, а из-за неё и модуль полной скорости электрона остаются неизменными на всем пути движения:
При движении электрона в область более сильного поля от центра ловушки $B_{1}$ к пробке $B_{2}$ поле меняется медленно по сравнению с радиусом вращения частицы. В таких условиях выполняется закон сохранения адиабатического инварианта - магнитного момента электронной орбиты $\mu$:
Из этого инварианта следует, что при росте индукции магнитного поля $B$ поперечная скорость $\upsilon_{\bot}$ обязана увеличиваться:
+
+
$$\upsilon_{\bot}^{2}(B)=\frac{2\mu}{m}\cdot B \tag{3}$$
+
+
Пусть в центре ловушки, где поле равно $B_{1}$, электрон вылетает под углом $\alpha$ к оси ловушки, тогда его начальные компоненты скорости равны: $\upsilon_{\bot нач}=\upsilon\sin\alpha$, $\upsilon_{\parallel нач}=\upsilon\cos\alpha$.
+
+
Магнитный момент электрона в центре ловушки равен:
Когда электрон движется к области сильного поля, его поперечная скорость растет. Чтобы компенсировать этот рост и сохранить полную энергию (напомню $\upsilon^{2}=const$), продольная скорость $\upsilon_{\parallel}$ начинает уменьшаться:
Электрон сможет остаться внутри ловушки только в том случае, если на пути его следования, где максимальное поле равно $B_2$, продольная скорость $\upsilon_{\parallel}$ упадет до нуля. Условие остановки частицы $\upsilon_{\parallel}=0$ в точке пробки $B=B_{2}$:
Если $\sin\alpha\ge\sin\alpha_{кр}$, электрон гарантированно затормозится и останется внутри ловушки. Если $\sin\alpha\lt\sin\alpha_{кр}$, электрон сохранит продольную скорость даже в точке максимального поля и вылетит наружу.
+
+
Радиоактивная пылинка испускает электроны изотропно во все стороны пространства. Это значит, что вероятность вылета электрона в определенном направлении прямо пропорциональна площади соответствующего телесного угла на единичной сфере. Ловушка симметрична и имеет два направления вылета — «вперед» и «назад» вдоль оси. Электроны покидают ловушку, если они летят слишком близко к оси в обоих направлениях.
Так как частицы вылетают во все стороны, то отношение количества между оставшимися в ловушке электронами и их общим количеством будет определятся отношением площади части сферы, в которую попали оставшиеся в ловушке электроны, к общей площади сферы:
Так как частицы вылетают во все стороны, то отношение количества между оставшимися в ловушке электронами и их общим количеством будет определятся отношением площади части сферы, в которую попали оставшиеся в ловушке электроны, к общей площади сферы:
$$
$$
n = \frac{S}{S_0} = \frac{1-\sin{\theta_{max}}}{2}
n = \frac{S}{S_0} = \frac{1-\sin{\theta_{max}}}{2}
$$
$$
где $\theta_{max}$ - максимальный угол между осью симметрии ловушки и скорость электрона, при котором он не покинет ловушку.
где $\theta_{max}$ - максимальный угол между осью симметрии ловушки и скорость электрона, при котором он не покинет ловушку.
Воспользуемся теоремой из задачи 10.1.26:
Воспользуемся теоремой из задачи 10.1.26:
$$
$$
dL = -\frac{e}{2\pi}d\Phi
dL = -\frac{e}{2\pi}d\Phi
$$
$$
Момент импульса:
Момент импульса:
$$
$$
L = mv_{||}r
L = mv_{||}r
$$
$$
Поток вектора магнитной индукции:
Поток вектора магнитной индукции:
$$
$$
\Phi = B\pi r^2
\Phi = B\pi r^2
$$
$$
Раскроем выражение для связи изменения момента импульса и изменения потока по правилу произведения:
Раскроем выражение для связи изменения момента импульса и изменения потока по правилу произведения:
Используем второй закон Ньютона для вращательного движения заряженных частиц по окружности для связи скорости, индукции и радиуса:
Используем второй закон Ньютона для вращательного движения заряженных частиц по окружности для связи скорости, индукции и радиуса:
$$
$$
\frac{mv_{||}^2}{r} = ev_{||}B
\frac{mv_{||}^2}{r} = ev_{||}B
$$
$$
Комбинируя два последних выражения, получаем дифференциальное уравнение:
Комбинируя два последних выражения, получаем дифференциальное уравнение:
$$
$$
\frac{dv_{||}}{v_{||}} = \frac{1}{2}\frac{dB}{B}
\frac{dv_{||}}{v_{||}} = \frac{1}{2}\frac{dB}{B}
$$
$$
решение которого является:
решение которого является:
$$
$$
\frac{v_{||}}{\sqrt{B}} = const
\frac{v_{||}}{\sqrt{B}} = const
$$
$$
В начальный момент при предельном угле скорость $v_{||}$ равна $v\sin(\theta_{max})$, $v$ - полная скорость, а индукция - $B_1$. В конце, так как магнитное поле не совершает работу, в предельном случае скорость $v_{||}$ равна $v$, а индукция - $B_2$. Тогда:
В начальный момент при предельном угле скорость $v_{||}$ равна $v\sin(\theta_{max})$, $v$ - полная скорость, а индукция - $B_1$. В конце, так как магнитное поле не совершает работу, в предельном случае скорость $v_{||}$ равна $v$, а индукция - $B_2$. Тогда:
$$
$$
\sin(\theta_{max}) = \sqrt{\frac{B_1}{B_2}}
\sin(\theta_{max}) = \sqrt{\frac{B_1}{B_2}}
$$
$$
Тогда часть оставшихся электронов в ловушке находится:
Тогда часть оставшихся электронов в ловушке находится:
@@ -48,7 +48,74 @@Решение
$$
$$
n = \frac{1-\sqrt{\frac{B_1}{B_2}}}{2}
n = \frac{1-\sqrt{\frac{B_1}{B_2}}}{2}
$$
$$
### Альтернативное решение
Свои замечания к решению автора я отобразил в раздела "Обсуждение". Ответов нет, поэтому решил привести своё решение. В этой задаче рассматривается физика в пробкотроне.
Рассмотрим движение отдельного электрона массы $m$ в осесимметричном магнитном поле. Вектор скорости частицы в любой точке можно разложить на две составляющие: $\upsilon_{\parallel}$ - продольная скорость направленная вдоль силовой линии магнитного поля; $\upsilon_{\bot}$ - поперечная скорость в плоскости, перпендикулярной полю.
На электрон действует сила Лоренца. Поскольку эта сила всегда перпендикулярна вектору скорости $\vec\upsilon$, она не совершает работы. Следовательно, кинетическая энергия, а из-за неё и модуль полной скорости электрона остаются неизменными на всем пути движения:
При движении электрона в область более сильного поля от центра ловушки $B_{1}$ к пробке $B_{2}$ поле меняется медленно по сравнению с радиусом вращения частицы. В таких условиях выполняется закон сохранения адиабатического инварианта - магнитного момента электронной орбиты $\mu$:
Из этого инварианта следует, что при росте индукции магнитного поля $B$ поперечная скорость $\upsilon_{\bot}$ обязана увеличиваться:
$$\upsilon_{\bot}^{2}(B)=\frac{2\mu}{m}\cdot B \tag{3}$$
Пусть в центре ловушки, где поле равно $B_{1}$, электрон вылетает под углом $\alpha$ к оси ловушки, тогда его начальные компоненты скорости равны: $\upsilon_{\bot нач}=\upsilon\sin\alpha$, $\upsilon_{\parallel нач}=\upsilon\cos\alpha$.
Магнитный момент электрона в центре ловушки равен:
Когда электрон движется к области сильного поля, его поперечная скорость растет. Чтобы компенсировать этот рост и сохранить полную энергию (напомню $\upsilon^{2}=const$), продольная скорость $\upsilon_{\parallel}$ начинает уменьшаться:
Электрон сможет остаться внутри ловушки только в том случае, если на пути его следования, где максимальное поле равно $B_2$, продольная скорость $\upsilon_{\parallel}$ упадет до нуля. Условие остановки частицы $\upsilon_{\parallel}=0$ в точке пробки $B=B_{2}$:
Если $\sin\alpha\ge\sin\alpha_{кр}$, электрон гарантированно затормозится и останется внутри ловушки. Если $\sin\alpha\lt\sin\alpha_{кр}$, электрон сохранит продольную скорость даже в точке максимального поля и вылетит наружу.
Радиоактивная пылинка испускает электроны изотропно во все стороны пространства. Это значит, что вероятность вылета электрона в определенном направлении прямо пропорциональна площади соответствующего телесного угла на единичной сфере. Ловушка симметрична и имеет два направления вылета — «вперед» и «назад» вдоль оси. Электроны покидают ловушку, если они летят слишком близко к оси в обоих направлениях.
