Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #17823 parent #17822 ← older newer →
ru/7.2.6.md +64 −3
@@ -1,11 +1,72 @@
### Условие
−$7.2.6.$ [Вставьте условие задачи]
+$7.2.6.$ Для электронов, испускаемых одной обкладкой конденсаторов, круглое отверстие во второй обкладке является одиночной линзой, если радиус отверстия много меньше расстояния между обкладками $d$.
+$\textbf{а.}$ Зависит ли фокусное расстояние этой линзы от разности потенциалов между обкладками?
+
+$\textbf{б.}$ Определите фокусное расстояние этой линзы, используя формулу, приведенную в задаче $7.1.27a$. Начальной скоростью электронов пренебречь.
+
+![К задаче $7.2.6$|218x172, 30%](../../img/7.2.6/7.2.6.png)
+
### Решение
−asc
+$\textbf{б.}$ Сначала решим подзадачу (б), поскольку её решение автоматически ответить на вопрос подзадачи (а).
+На краю отверствия силовые линии электрического поля искривляются. Электроны, летящие в пучке, будут испытывать поперечную силу со стороны этого "искривлённого поля". На рисунке изображены силовые линии:
+
+![|347x180, 50%](../../img/7.2.6/7.2.6_1.png)
+
+Поместим систему отсчёта в цилиндрических координатах в центр отверствия. Ось $z$ направим вдоль оси конденсатора. До пролёта пучка электронов внутри конденсатора и в области самого отверствия отсутсвуют свободные электрические заряды. Тогда теорема Гаусса в дифференциальной форме запишеться следующим образом:
+
+$$\nabla\cdot\vec E=0$$
+
+В цилиндрических координатах при осевой симметрии, когда $\frac{\partial }{\partial \varphi}=0$:
+
+$$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r}) }{\partial r}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0$$
+
+Рассмотрим область, где $r\ll R$, $R$ - радиус отверствия. В этой области $E_{r}$ мало и растёт с $r$, на оси радиальная компонента равна 0: $E_{r}(0,z)=0$. При таких допущениях $E_{r}$ можна разложить по $r$:
+
+$$E_{r}(r,z)=\alpha(z)\cdot r+O(r^{2})\Longrightarrow E_{r}(r,z)\approx \alpha(z)\cdot r$$
+
+Домножим на $r$:
+
+$$rE_{r}= \alpha(z)\cdot r^{2}$$
+
+Продифференцируем:
+
+$$\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)\cdot r$$
+
+Отсюда:
+
+$$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)$$
+
+Подставляем в уравнение Гаусса:
+
+$$2\alpha(z)+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0\Longrightarrow \alpha(z)=-\frac{1}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$
+
+Подставляем обратно в разложение радиальной компоненты:
+
+$$E_{r}(r,z)=-\frac{r}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$
+
+Эта радиальная компонента поля создаёт силу, которая изменяет радиальный импульс электрона:
+
+$$F_{r}=-eE_{r}=\frac{er}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$
+
+Изменение радиального импульса $\Delta p_{r}$ при полёте сквозь отверствие:
+
+$$\Delta p_{r}=\int F_{r}dt=\int F_{r}\frac{dz}{\upsilon_{z}}=\int \frac{er}{2\upsilon_{z}}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}dz$$
+
+Поскольку отверствие считаю тонким, то величины $r$ и $\upsilon_{z}$ практически постоянны во время пролёта:
+
+$$\Delta p_{r}\approx \frac{er}{2\upsilon_{z}}\int_{E_{1}}^{E_{2}} dE_{z}=\frac{er}{2\upsilon_{z}}\left( E_{2}-E_{1} \right)$$
+
+Здесь $E_{1}$ - это значение напряжённости электрического поля до отверствия (в конденсаторе), а $E_{2}$ - значение напряжённости электрического поля после отверствия (вне конденсатора). В момент пролёта отверствия $r$ это будет радиус пучка электронов.
+
+По определению фокусного расстояния, угол отклонения
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$\textbf{а.}$ Не зависит.
+
+$\textbf{б.}$ $f=-4d$