Edit to “Решение”

emixter edited Apr 7, 2026, 2:49 PM

View solution History

revision #17824 parent #17823 ← older newer →

ru/7.2.6.md +24 −2

			### Условие

			$7.2.6.$ Для электронов, испускаемых одной обкладкой конденсаторов, круглое отверстие во второй обкладке является одиночной линзой, если радиус отверстия много меньше расстояния между обкладками $d$.

			$\textbf{а.}$ Зависит ли фокусное расстояние этой линзы от разности потенциалов между обкладками?

			$\textbf{б.}$ Определите фокусное расстояние этой линзы, используя формулу, приведенную в задаче $7.1.27a$. Начальной скоростью электронов пренебречь.

			![К задаче $7.2.6$\|218x172, 30%](../../img/7.2.6/7.2.6.png)

			### Решение

			$\textbf{б.}$ Сначала решим подзадачу (б), поскольку её решение автоматически ответить на вопрос подзадачи (а).

			На краю отверствия силовые линии электрического поля искривляются. Электроны, летящие в пучке, будут испытывать поперечную силу со стороны этого "искривлённого поля". На рисунке изображены силовые линии:

			![\|347x180, 50%](../../img/7.2.6/7.2.6_1.png)

			Поместим систему отсчёта в цилиндрических координатах в центр отверствия. Ось $z$ направим вдоль оси конденсатора. До пролёта пучка электронов внутри конденсатора и в области самого отверствия отсутсвуют свободные электрические заряды. Тогда теорема Гаусса в дифференциальной форме запишеться следующим образом:

			$$\nabla\cdot\vec E=0$$

			В цилиндрических координатах при осевой симметрии, когда $\frac{\partial }{\partial \varphi}=0$:

			$$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r}) }{\partial r}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0$$

			Рассмотрим область, где $r\ll R$, $R$ - радиус отверствия. В этой области $E_{r}$ мало и растёт с $r$, на оси радиальная компонента равна 0: $E_{r}(0,z)=0$. При таких допущениях $E_{r}$ можна разложить по $r$:

			$$E_{r}(r,z)=\alpha(z)\cdot r+O(r^{2})\Longrightarrow E_{r}(r,z)\approx \alpha(z)\cdot r$$

			Домножим на $r$:

			$$rE_{r}= \alpha(z)\cdot r^{2}$$

			Продифференцируем:

			$$\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)\cdot r$$

			Отсюда:

			$$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)$$

			Подставляем в уравнение Гаусса:

			$$2\alpha(z)+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0\Longrightarrow \alpha(z)=-\frac{1}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$

			Подставляем обратно в разложение радиальной компоненты:

			$$E_{r}(r,z)=-\frac{r}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$

			Эта радиальная компонента поля создаёт силу, которая изменяет радиальный импульс электрона:

			$$F_{r}=-eE_{r}=\frac{er}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$

			Изменение радиального импульса $\Delta p_{r}$ при полёте сквозь отверствие:

			$$\Delta p_{r}=\int F_{r}dt=\int F_{r}\frac{dz}{\upsilon_{z}}=\int \frac{er}{2\upsilon_{z}}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}dz$$
		@@ -58,11 +58,33 @@Решение

			Поскольку отверствие считаю тонким, то величины $r$ и $\upsilon_{z}$ практически постоянны во время пролёта:

		−	$$\Delta p_{r}\approx \frac{er}{2\upsilon_{z}}\int_{E_{1}}^{E_{2}} dE_{z}=\frac{er}{2\upsilon_{z}}\left( E_{2}-E_{1} \right)$$
		+	$$\Delta p_{r}\approx \frac{er}{2\upsilon_{z}}\int_{E_{1}}^{E_{2}} dE_{z}=\frac{er}{2\upsilon_{z}}\left( E_{2}-E_{1} \right) \tag{1}$$

			Здесь $E_{1}$ - это значение напряжённости электрического поля до отверствия (в конденсаторе), а $E_{2}$ - значение напряжённости электрического поля после отверствия (вне конденсатора). В момент пролёта отверствия $r$ это будет радиус пучка электронов.

		−	По определению фокусного расстояния, ~~угол~~ отклонения
		+	По определению фокусного расстояния, тангенс угла отклонения:
		+
		+	$$\tan\beta\approx \beta=\frac{r}{f}\Longrightarrow f=\frac{r}{\beta}$$
		+
		+	Угол отклонения считаю малым в связи с малостью радиуса пучка. Но с другой стороны:
		+
		+	$$\tan\beta\approx \beta=\frac{\upsilon_{r}}{\upsilon_{z}}=\frac{\Delta p_{r}}{p_{z}}$$
		+
		+	Тогда:
		+
		+	$$f=\frac{rp_{z}}{\Delta p_{r}} \tag{2}$$
		+
		+	Подставим (1) в (2) и учтём, что $p_{z}=m\upsilon_{z}$:
		+
		+	$$f=\frac{2\upsilon_{z}\cdot r\cdot m\upsilon_{z}}{er(E_{2}-E_{1})}=\frac{2m\upsilon_{z}^{2}}{e(E_{2}-E_{1})} \tag{3}$$
		+
		+	Согласно закону сохранения энергии:
		+
		+	$$\frac{m\upsilon_{z}^{2}}{2}=eU\Longrightarrow m\upsilon_{z}^{2}=2eU$$
		+
		+	Подставим в (3):
		+
		+	$$f=\frac{2\cdot 2eU}{e(E_{2}-E_{1})}=\frac{4U}{E_{2}-E_{1}} \tag{5}$$


			#### Ответ

			$\textbf{а.}$ Не зависит.

			$\textbf{б.}$ $f=-4d$
		unchanged lines 4

	### Условие		### Условие

	$7.2.6.$ Для электронов, испускаемых одной обкладкой конденсаторов, круглое отверстие во второй обкладке является одиночной линзой, если радиус отверстия много меньше расстояния между обкладками $d$.		$7.2.6.$ Для электронов, испускаемых одной обкладкой конденсаторов, круглое отверстие во второй обкладке является одиночной линзой, если радиус отверстия много меньше расстояния между обкладками $d$.

	$\textbf{а.}$ Зависит ли фокусное расстояние этой линзы от разности потенциалов между обкладками?		$\textbf{а.}$ Зависит ли фокусное расстояние этой линзы от разности потенциалов между обкладками?

	$\textbf{б.}$ Определите фокусное расстояние этой линзы, используя формулу, приведенную в задаче $7.1.27a$. Начальной скоростью электронов пренебречь.		$\textbf{б.}$ Определите фокусное расстояние этой линзы, используя формулу, приведенную в задаче $7.1.27a$. Начальной скоростью электронов пренебречь.

	![К задаче $7.2.6$\|218x172, 30%](../../img/7.2.6/7.2.6.png)		![К задаче $7.2.6$\|218x172, 30%](../../img/7.2.6/7.2.6.png)

	### Решение		### Решение

	$\textbf{б.}$ Сначала решим подзадачу (б), поскольку её решение автоматически ответить на вопрос подзадачи (а).		$\textbf{б.}$ Сначала решим подзадачу (б), поскольку её решение автоматически ответить на вопрос подзадачи (а).

	На краю отверствия силовые линии электрического поля искривляются. Электроны, летящие в пучке, будут испытывать поперечную силу со стороны этого "искривлённого поля". На рисунке изображены силовые линии:		На краю отверствия силовые линии электрического поля искривляются. Электроны, летящие в пучке, будут испытывать поперечную силу со стороны этого "искривлённого поля". На рисунке изображены силовые линии:

	![\|347x180, 50%](../../img/7.2.6/7.2.6_1.png)		![\|347x180, 50%](../../img/7.2.6/7.2.6_1.png)

	Поместим систему отсчёта в цилиндрических координатах в центр отверствия. Ось $z$ направим вдоль оси конденсатора. До пролёта пучка электронов внутри конденсатора и в области самого отверствия отсутсвуют свободные электрические заряды. Тогда теорема Гаусса в дифференциальной форме запишеться следующим образом:		Поместим систему отсчёта в цилиндрических координатах в центр отверствия. Ось $z$ направим вдоль оси конденсатора. До пролёта пучка электронов внутри конденсатора и в области самого отверствия отсутсвуют свободные электрические заряды. Тогда теорема Гаусса в дифференциальной форме запишеться следующим образом:

	$$\nabla\cdot\vec E=0$$		$$\nabla\cdot\vec E=0$$

	В цилиндрических координатах при осевой симметрии, когда $\frac{\partial }{\partial \varphi}=0$:		В цилиндрических координатах при осевой симметрии, когда $\frac{\partial }{\partial \varphi}=0$:

	$$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r}) }{\partial r}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0$$		$$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r}) }{\partial r}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0$$

	Рассмотрим область, где $r\ll R$, $R$ - радиус отверствия. В этой области $E_{r}$ мало и растёт с $r$, на оси радиальная компонента равна 0: $E_{r}(0,z)=0$. При таких допущениях $E_{r}$ можна разложить по $r$:		Рассмотрим область, где $r\ll R$, $R$ - радиус отверствия. В этой области $E_{r}$ мало и растёт с $r$, на оси радиальная компонента равна 0: $E_{r}(0,z)=0$. При таких допущениях $E_{r}$ можна разложить по $r$:

	$$E_{r}(r,z)=\alpha(z)\cdot r+O(r^{2})\Longrightarrow E_{r}(r,z)\approx \alpha(z)\cdot r$$		$$E_{r}(r,z)=\alpha(z)\cdot r+O(r^{2})\Longrightarrow E_{r}(r,z)\approx \alpha(z)\cdot r$$

	Домножим на $r$:		Домножим на $r$:

	$$rE_{r}= \alpha(z)\cdot r^{2}$$		$$rE_{r}= \alpha(z)\cdot r^{2}$$

	Продифференцируем:		Продифференцируем:

	$$\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)\cdot r$$		$$\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)\cdot r$$

	Отсюда:		Отсюда:

	$$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)$$		$$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)$$

	Подставляем в уравнение Гаусса:		Подставляем в уравнение Гаусса:

	$$2\alpha(z)+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0\Longrightarrow \alpha(z)=-\frac{1}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$		$$2\alpha(z)+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0\Longrightarrow \alpha(z)=-\frac{1}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$

	Подставляем обратно в разложение радиальной компоненты:		Подставляем обратно в разложение радиальной компоненты:

	$$E_{r}(r,z)=-\frac{r}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$		$$E_{r}(r,z)=-\frac{r}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$

	Эта радиальная компонента поля создаёт силу, которая изменяет радиальный импульс электрона:		Эта радиальная компонента поля создаёт силу, которая изменяет радиальный импульс электрона:

	$$F_{r}=-eE_{r}=\frac{er}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$		$$F_{r}=-eE_{r}=\frac{er}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$

	Изменение радиального импульса $\Delta p_{r}$ при полёте сквозь отверствие:		Изменение радиального импульса $\Delta p_{r}$ при полёте сквозь отверствие:

	$$\Delta p_{r}=\int F_{r}dt=\int F_{r}\frac{dz}{\upsilon_{z}}=\int \frac{er}{2\upsilon_{z}}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}dz$$		$$\Delta p_{r}=\int F_{r}dt=\int F_{r}\frac{dz}{\upsilon_{z}}=\int \frac{er}{2\upsilon_{z}}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}dz$$
	@@ -58,11 +58,33 @@Решение

	Поскольку отверствие считаю тонким, то величины $r$ и $\upsilon_{z}$ практически постоянны во время пролёта:		Поскольку отверствие считаю тонким, то величины $r$ и $\upsilon_{z}$ практически постоянны во время пролёта:

	$$\Delta p_{r}\approx \frac{er}{2\upsilon_{z}}\int_{E_{1}}^{E_{2}} dE_{z}=\frac{er}{2\upsilon_{z}}\left( E_{2}-E_{1} \right)$$		$$\Delta p_{r}\approx \frac{er}{2\upsilon_{z}}\int_{E_{1}}^{E_{2}} dE_{z}=\frac{er}{2\upsilon_{z}}\left( E_{2}-E_{1} \right) \tag{1}$$

	Здесь $E_{1}$ - это значение напряжённости электрического поля до отверствия (в конденсаторе), а $E_{2}$ - значение напряжённости электрического поля после отверствия (вне конденсатора). В момент пролёта отверствия $r$ это будет радиус пучка электронов.		Здесь $E_{1}$ - это значение напряжённости электрического поля до отверствия (в конденсаторе), а $E_{2}$ - значение напряжённости электрического поля после отверствия (вне конденсатора). В момент пролёта отверствия $r$ это будет радиус пучка электронов.

	По определению фокусного расстояния, ~~угол~~ отклонения		По определению фокусного расстояния, тангенс угла отклонения:

			$$\tan\beta\approx \beta=\frac{r}{f}\Longrightarrow f=\frac{r}{\beta}$$

			Угол отклонения считаю малым в связи с малостью радиуса пучка. Но с другой стороны:

			$$\tan\beta\approx \beta=\frac{\upsilon_{r}}{\upsilon_{z}}=\frac{\Delta p_{r}}{p_{z}}$$

			Тогда:

			$$f=\frac{rp_{z}}{\Delta p_{r}} \tag{2}$$

			Подставим (1) в (2) и учтём, что $p_{z}=m\upsilon_{z}$:

			$$f=\frac{2\upsilon_{z}\cdot r\cdot m\upsilon_{z}}{er(E_{2}-E_{1})}=\frac{2m\upsilon_{z}^{2}}{e(E_{2}-E_{1})} \tag{3}$$

			Согласно закону сохранения энергии:

			$$\frac{m\upsilon_{z}^{2}}{2}=eU\Longrightarrow m\upsilon_{z}^{2}=2eU$$

			Подставим в (3):

			$$f=\frac{2\cdot 2eU}{e(E_{2}-E_{1})}=\frac{4U}{E_{2}-E_{1}} \tag{5}$$


	#### Ответ		#### Ответ

	$\textbf{а.}$ Не зависит.		$\textbf{а.}$ Не зависит.

	$\textbf{б.}$ $f=-4d$		$\textbf{б.}$ $f=-4d$
	unchanged lines 4