Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/6.3.24.md
+43 −3
| @@ -1,11 +1,51 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $6.3.24.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $6.3.24.$ Система состоит из двух концентрических проводящих сфер — внутренней радиуса $R_{1}$ и внешней радиуса $R_{2}$. Внешняя сфера имеет заряд $q$, а внутренняя заземлена. Найдите напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния до центра сфер. | ||
| ### Решение | |||
| − | sad | ||
| + | Пусть заряд внутренней сферы равен $q_{1}$. Так как она заземлена, её потенциал равен нулю: $\varphi(R_{1})=0$. Потенциал создается обоими зарядами: | ||
| + | $$\varphi(R_{1})=\frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}+\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}=0 \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда находим заряд на внутренней сфере: | ||
| + | |||
| + | $$q_{1}=-q\frac{R_{1}}{R_{2}} \tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Для нахождения напряжённости поля используем теорему Гаусса: | ||
| + | |||
| + | $$\oint \vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{внут}}{\varepsilon_{0}}$$ | ||
| + | |||
| + | Поле создается только зарядами, находящимися внутри рассматриваемого радиуса $r$. Внутри малой сферы ($r\lt R_{1}$) зарядов нет, поэтому $E=0$. | ||
| + | |||
| + | Между сферами ($R_{1}\lt r\lt R_{2}$) поле создает только заряд $q_{1}$: | ||
| + | |||
| + | $$E=\frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=-\frac{qR_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2} r^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Снаружи ($r\gt R_{2}$) поле создает суммарный заряд $Q=q+q_{1}=q(1-\frac{R_{1}}{R_{2}})$: | ||
| + | |||
| + | $$E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Потенциал определяется интегрированием $E$. При этом считается, что $\varphi(\infty)=0$. | ||
| + | |||
| + | Внутри малой сферы ($r\le R_{1}$) поля нет, сфера заземлена, поэтому $\varphi=0$. | ||
| + | |||
| + | Между сферами ($R_{1}\le r \le R_{2}$): | ||
| + | |||
| + | $$\varphi(r) = \frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r} + \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R_{2}} - \frac{R_{1}}{R_{2}r}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{r} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Снаружи ($r\ge R_{2}$): | ||
| + | |||
| + | $$\varphi(r) = \frac{q + q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $\text{При } r\lt R_{1}$ | ||
| + | $$E=0$$ | ||
| + | $$\varphi=0$$ | ||
| + | $\text{При } R_{1}\lt r\lt R_{2}$ | ||
| + | $$E=-\frac{qR_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}r^{2}}$$ | ||
| + | $$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{r} \right)$$ | ||
| + | $\text{При } r\gt R_{2}$ | ||
| + | $$E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$ | ||
| + | $$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$ | ||
| @@ -1,11 +1,51 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.3.24.$ [Вставьте условие задачи] | $6.3.24.$ Система состоит из двух концентрических проводящих сфер — внутренней радиуса $R_{1}$ и внешней радиуса $R_{2}$. Внешняя сфера имеет заряд $q$, а внутренняя заземлена. Найдите напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния до центра сфер. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| sad | Пусть заряд внутренней сферы равен $q_{1}$. Так как она заземлена, её потенциал равен нулю: $\varphi(R_{1})=0$. Потенциал создается обоими зарядами: | ||
| $$\varphi(R_{1})=\frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}+\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}=0 \tag{1}$$ | |||
| Отсюда находим заряд на внутренней сфере: | |||
| $$q_{1}=-q\frac{R_{1}}{R_{2}} \tag{2}$$ | |||
| Для нахождения напряжённости поля используем теорему Гаусса: | |||
| $$\oint \vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{внут}}{\varepsilon_{0}}$$ | |||
| Поле создается только зарядами, находящимися внутри рассматриваемого радиуса $r$. Внутри малой сферы ($r\lt R_{1}$) зарядов нет, поэтому $E=0$. | |||
| Между сферами ($R_{1}\lt r\lt R_{2}$) поле создает только заряд $q_{1}$: | |||
| $$E=\frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=-\frac{qR_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2} r^{2}}$$ | |||
| Снаружи ($r\gt R_{2}$) поле создает суммарный заряд $Q=q+q_{1}=q(1-\frac{R_{1}}{R_{2}})$: | |||
| $$E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$ | |||
| Потенциал определяется интегрированием $E$. При этом считается, что $\varphi(\infty)=0$. | |||
| Внутри малой сферы ($r\le R_{1}$) поля нет, сфера заземлена, поэтому $\varphi=0$. | |||
| Между сферами ($R_{1}\le r \le R_{2}$): | |||
| $$\varphi(r) = \frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r} + \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R_{2}} - \frac{R_{1}}{R_{2}r}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{r} \right)$$ | |||
| Снаружи ($r\ge R_{2}$): | |||
| $$\varphi(r) = \frac{q + q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $\text{При } r\lt R_{1}$ | ||
| $$E=0$$ | |||
| $$\varphi=0$$ | |||
| $\text{При } R_{1}\lt r\lt R_{2}$ | |||
| $$E=-\frac{qR_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}r^{2}}$$ | |||
| $$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{r} \right)$$ | |||
| $\text{При } r\gt R_{2}$ | |||
| $$E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$ | |||
| $$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$ | |||