Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #17854 предыдущая #17844 ← раньше
ru/6.3.24.md +43 −3
@@ -1,11 +1,51 @@
### Условие
−$6.3.24.$ [Вставьте условие задачи]
+$6.3.24.$ Система состоит из двух концентрических проводящих сфер — внутренней радиуса $R_{1}$ и внешней радиуса $R_{2}$. Внешняя сфера имеет заряд $q$, а внутренняя заземлена. Найдите напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния до центра сфер.
### Решение
−sad
+Пусть заряд внутренней сферы равен $q_{1}$. Так как она заземлена, её потенциал равен нулю: $\varphi(R_{1})=0$. Потенциал создается обоими зарядами:
+$$\varphi(R_{1})=\frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}+\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}=0 \tag{1}$$
+
+Отсюда находим заряд на внутренней сфере:
+
+$$q_{1}=-q\frac{R_{1}}{R_{2}} \tag{2}$$
+
+Для нахождения напряжённости поля используем теорему Гаусса:
+
+$$\oint \vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{внут}}{\varepsilon_{0}}$$
+
+Поле создается только зарядами, находящимися внутри рассматриваемого радиуса $r$. Внутри малой сферы ($r\lt R_{1}$) зарядов нет, поэтому $E=0$.
+
+Между сферами ($R_{1}\lt r\lt R_{2}$) поле создает только заряд $q_{1}$:
+
+$$E=\frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=-\frac{qR_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2} r^{2}}$$
+
+Снаружи ($r\gt R_{2}$) поле создает суммарный заряд $Q=q+q_{1}=q(1-\frac{R_{1}}{R_{2}})$:
+
+$$E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$
+
+Потенциал определяется интегрированием $E$. При этом считается, что $\varphi(\infty)=0$.
+
+Внутри малой сферы ($r\le R_{1}$) поля нет, сфера заземлена, поэтому $\varphi=0$.
+
+Между сферами ($R_{1}\le r \le R_{2}$):
+
+$$\varphi(r) = \frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r} + \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R_{2}} - \frac{R_{1}}{R_{2}r}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{r} \right)$$
+
+Снаружи ($r\ge R_{2}$):
+
+$$\varphi(r) = \frac{q + q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$\text{При } r\lt R_{1}$
+$$E=0$$
+$$\varphi=0$$
+$\text{При } R_{1}\lt r\lt R_{2}$
+$$E=-\frac{qR_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}r^{2}}$$
+$$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{r} \right)$$
+$\text{При } r\gt R_{2}$
+$$E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$
+$$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$