Решение

Когда проводник помещают во внешнее однородное электрическое поле $\vec E$, свободные заряды перераспределяются по его поверхности до тех пор, пока внутри проводника суммарная напряженность поля не станет равной 0:

$$\vec E_{вн}=\vec E+\sum\vec E_{i}=0$$

где $\vec E_{i}$ - напряженность электрического поля, создаваемая в точке А зарядами, сосредоточенными на малой площадке поверхности проводника:

$$\vec E_{i}=\frac{q_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{3}}\vec r_{i}=\frac{\sigma_{i}S_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{2}}\vec n_{i} \tag{1}$$

$\vec n_{i}$ - единичный вектор, совпадающий с направлением вектора $\vec E_{i}$.

После уменьшения всех размеров проводника:

$$S_{i}^{'}=\frac{S_{i}}{n^{2}}$$
$$r_{i}^{'}=\frac{r_{i}}{n}$$

Направление вектора $\vec E_{i}$ останется неизменным:

$$\vec n_{i}^{'}=\vec n_{i}$$

Напряженность электрического поля, создаваемая зарядами площадки $S_{i}^{'}$ в точке А:

$$\vec E_{i}^{'}=\frac{\sigma_{i}^{'}S_{i}^{'}\vec n_{i}^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{'2}}=\frac{\sigma_{i}^{'}\left( \frac{S_{i}}{n^{2}} \right)\vec n_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}\left( \frac{r_{i}^{2}}{n^{2}} \right)}=\frac{\sigma_{i}^{'}S_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{2}}\vec n_{i} \tag{2}$$

Чтобы внешнее поле оставалось скомпенсированным индуцированными зарядами, необходимо:

$$\vec E_{i}^{'}=\vec E_{i}$$

Приравниваем (1) и (2):

$$\frac{\sigma_{i}S_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{2}}\vec n_{i}=\frac{\sigma_{i}^{'}S_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{2}}\vec n_{i}$$
$$\boxed{\sigma_{i}=\sigma_{i}^{'}}$$