Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/6.3.18.md
+35 −3
| @@ -1,11 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $6.3.18.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $6.3.18.$ В однородном электрическом поле находится проводник, суммарный заряд которого равен нулю. Изменится ли поверхностная плотность заряда, если все размеры проводника уменьшить в $n$ раз? | ||
| ### Решение | |||
| − | asd | ||
| + |  | ||
| + | Когда проводник помещают во внешнее однородное электрическое поле $\vec E$, свободные заряды перераспределяются по его поверхности до тех пор, пока внутри проводника суммарная напряженность поля не станет равной 0: | ||
| + | |||
| + | $$\vec E_{вн}=\vec E+\sum\vec E_{i}=0$$ | ||
| + | |||
| + | где $\vec E_{i}$ - напряженность электрического поля, создаваемая в точке А зарядами, сосредоточенными на малой площадке поверхности проводника: | ||
| + | |||
| + | $$\vec E_{i}=\frac{q_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{3}}\vec r_{i}=\frac{\sigma_{i}S_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{2}}\vec n_{i} \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | $\vec n_{i}$ - единичный вектор, совпадающий с направлением вектора $\vec E_{i}$. | ||
| + | |||
| + | После уменьшения всех размеров проводника: | ||
| + | |||
| + | $$S_{i}^{'}=\frac{S_{i}}{n^{2}}$$ | ||
| + | $$r_{i}^{'}=\frac{r_{i}}{n}$$ | ||
| + | |||
| + | Направление вектора $\vec E_{i}$ останется неизменным: | ||
| + | |||
| + | $$\vec n_{i}^{'}=\vec n_{i}$$ | ||
| + | |||
| + | Напряженность электрического поля, создаваемая зарядами площадки $S_{i}^{'}$ в точке А: | ||
| + | |||
| + | $$\vec E_{i}^{'}=\frac{\sigma_{i}^{'}S_{i}^{'}\vec n_{i}^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{'2}}=\frac{\sigma_{i}^{'}\left( \frac{S_{i}}{n^{2}} \right)\vec n_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}\left( \frac{r_{i}^{2}}{n^{2}} \right)}=\frac{\sigma_{i}^{'}S_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{2}}\vec n_{i} \tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Чтобы внешнее поле оставалось скомпенсированным индуцированными зарядами, необходимо: | ||
| + | |||
| + | $$\vec E_{i}^{'}=\vec E_{i}$$ | ||
| + | |||
| + | Приравниваем (1) и (2): | ||
| + | |||
| + | $$\frac{\sigma_{i}S_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{2}}\vec n_{i}=\frac{\sigma_{i}^{'}S_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{2}}\vec n_{i}$$ | ||
| + | $$\boxed{\sigma_{i}=\sigma_{i}^{'}}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| + | Поверхностная плотность заряда на соответствующих участках поверхности проводника останется прежней. | ||
| @@ -1,11 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.3.18.$ [Вставьте условие задачи] | $6.3.18.$ В однородном электрическом поле находится проводник, суммарный заряд которого равен нулю. Изменится ли поверхностная плотность заряда, если все размеры проводника уменьшить в $n$ раз? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| asd |  | ||
| Когда проводник помещают во внешнее однородное электрическое поле $\vec E$, свободные заряды перераспределяются по его поверхности до тех пор, пока внутри проводника суммарная напряженность поля не станет равной 0: | |||
| $$\vec E_{вн}=\vec E+\sum\vec E_{i}=0$$ | |||
| где $\vec E_{i}$ - напряженность электрического поля, создаваемая в точке А зарядами, сосредоточенными на малой площадке поверхности проводника: | |||
| $$\vec E_{i}=\frac{q_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{3}}\vec r_{i}=\frac{\sigma_{i}S_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{2}}\vec n_{i} \tag{1}$$ | |||
| $\vec n_{i}$ - единичный вектор, совпадающий с направлением вектора $\vec E_{i}$. | |||
| После уменьшения всех размеров проводника: | |||
| $$S_{i}^{'}=\frac{S_{i}}{n^{2}}$$ | |||
| $$r_{i}^{'}=\frac{r_{i}}{n}$$ | |||
| Направление вектора $\vec E_{i}$ останется неизменным: | |||
| $$\vec n_{i}^{'}=\vec n_{i}$$ | |||
| Напряженность электрического поля, создаваемая зарядами площадки $S_{i}^{'}$ в точке А: | |||
| $$\vec E_{i}^{'}=\frac{\sigma_{i}^{'}S_{i}^{'}\vec n_{i}^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{'2}}=\frac{\sigma_{i}^{'}\left( \frac{S_{i}}{n^{2}} \right)\vec n_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}\left( \frac{r_{i}^{2}}{n^{2}} \right)}=\frac{\sigma_{i}^{'}S_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{2}}\vec n_{i} \tag{2}$$ | |||
| Чтобы внешнее поле оставалось скомпенсированным индуцированными зарядами, необходимо: | |||
| $$\vec E_{i}^{'}=\vec E_{i}$$ | |||
| Приравниваем (1) и (2): | |||
| $$\frac{\sigma_{i}S_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{2}}\vec n_{i}=\frac{\sigma_{i}^{'}S_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{2}}\vec n_{i}$$ | |||
| $$\boxed{\sigma_{i}=\sigma_{i}^{'}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| Поверхностная плотность заряда на соответствующих участках поверхности проводника останется прежней. | |||