Решение

Явление изменения направления света при переходе от одной системы отсчета к другой называется аберрацией света [1, 2].

Элементарный подход

Посчитаем неподвижной систему $K$, связанную с Землей, при приближении Земли к звезде (ситуация на рисунке). Ось $x$ этой системы направим против скорости $v$ Земли, ось $y$ — вниз (см. рисунок).

Подвижной системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она летит со скоростью $-v$. Ее оси направлены так же, как и у неподвижной.

Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/c}$ есть скорость Земли относительно Солнца, все скорости лежат в плоскости $xy$.

Модуль скорости системы $K'$ относительно системы $K$ по СТО [3]:

$$V=\frac{2v}{1+\frac{v^2}{c^2}},$$

где $c$ есть скорость света.

По закону сложения скоростей для падающего света в теории относительности:

$$с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+V}{1+\frac{c\cos\beta\cdot V}{c^2}}, \quad с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1+\frac{c\cos\beta\cdot V}{c^2}},$$

где $\beta$ есть угол падения света в системе $K'$.

Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $V/c=k$. С учетом $k=V/c\ll1$ продолжим с точностью до малых первого порядка: $\sqrt{1-V^2/c^2}\approx1$. Получаем

$$\cos\alpha=\frac{\cos\beta+k}{1+k\cos\beta}, \quad \sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+k\cos\beta}.$$

Делим эти уравнения друг на друга и избавляемся от знаменателей:

$$\sin\alpha\cos\beta+k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha.$$

Знаем из тригонометрии, что $\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$, поэтому переписываем предыдущее:

$$\sin(\beta-\alpha)=k\sin\alpha.$$

Искомый угол $\Delta=\beta-\alpha$, так что:

$$\sin\Delta=k\sin\alpha.$$

Правая часть мала, поэтому

$$\Delta=\frac{V}{c}\sin\alpha.$$

А для $V\approx2v$ получаем в элементарной форме

$$\boxed{\Delta=2\frac{v}{c}\sin\alpha.}$$

Неэлементарный подход

Однако, решение можно задумать через тангенсы, причем половинного угла [4, 5].

Сначала для удобства переобозначим системы отсчета.

Посчитаем неподвижной(!) систему $K$, связанную с Землей, при удалении(!) Земли от звезды.

Подвижной(!) системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она приближается(!) к звезде. Оси систем направлены так же, как и в прошлый раз.

Тогда релятивистское сложение скоростей запишем так:

$$с\cos\beta=\frac{с\cos\alpha-V}{1-\frac{c\cos\alpha\cdot V}{c^2}}, \quad с\sin\beta=\frac{с\sin\alpha\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1-\frac{c\cos\alpha\cdot V}{c^2}}.$$

Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $V/c=k$:

$$\cos\beta=\frac{\cos\alpha-k}{1-k\cos\alpha}, \quad \sin\beta=\frac{\sin\alpha\sqrt{1-k^2}}{1-k\cos\alpha}.$$

Для тангенса половинного угла

$$\tan\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}.$$

Подсталяем предыдущие две формулы в нее и после несложных преобразований можно получить:

$$\boxed{\tan\frac{\beta}{2}=\tan\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{1+k}{1-k}}.}\tag{1}$$

Это — формула для аберрации света через танегенсы половинного угла.

Представим далее

$$\beta=\alpha+\Delta, \quad B=\sqrt{\frac{1+k}{1-k}}.$$

Применяя представления и формулу тангенса суммы в виде

$$\tan\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\Delta}{2}\right)=\frac{\tan\alpha/2+\tan\Delta/2}{1-\tan\alpha/2\tan\Delta/2},$$

можно от формулы $(1)$ прийти к

$$\boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}\left(B-1\right)}{1+B\tan^2\frac{\alpha}{2}}.}\tag{2}$$

Используя теперь формулы для тангенсов половинного угла $\alpha$

$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}, \quad \tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha},$$

формулу $(2)$ приводим к

$$\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{B+1}{B-1}+\cos\alpha},$$

а с учетом
$$\frac{B+1}{B-1}\approx\frac{2c}{V}=\frac{c}{v}$$

из-за сильного неравенства $v\ll c$ получаем такое приближение

$$\boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}.}$$

Так как имеем $c/v\gg\cos\alpha$ всегда, то

$$\tan\frac{\Delta}{2}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha.$$

Как видно, этот результат просто приводится к результату по элементарному подходу, так как из-за малости правой части $\tan\Delta/2\approx\Delta/2$.