Решение

Пункт a

Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны.

После сообщение указанной скорости можем записать

$$x=A\cos\omega t, \quad y=B\sin\omega t,$$

где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$.

Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем

$$\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1.$$

Это — уравнение эллипса.

Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что

$$\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1.$$

Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$.

Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$.

Пункт б$^*$

В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же:

$$y=B\sin\omega t.$$

А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$.

$$x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right).$$

Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]:

$$x=A\left(\sin\omega t\cos\varphi+\cos\omega t\sin\varphi\right)$$

Заметим, что $\chi=A\sin\varphi$:

$$x=A\cos\varphi\sin\omega t+\chi\cos\omega t.$$

Далее, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}$, так что, внося $A$ под корень и вспоминая предыдущее, пишем

$$\sqrt{A^2-\chi^2}\sin\omega t+\chi\cos\omega t.$$

C помощью $y=B\sin\omega t$ избавляемся от синуса и косинуса в предыдущей формуле:

$$x=\sqrt{A^2-\chi^2}\frac{y}{B}+\chi\sqrt{1-\frac{y^2}{B^2}}.$$

Вероятно связь коородинат описывается кривой второго порядка. Будем возводить в квадрат это уравнение. Удобно, например, избавиться от дробей и так преобразовать:

$$\left(xB-y\sqrt{A^2-\chi^2}\right)^2=\left(\chi\sqrt{B^2-y^2}\right)^2.$$

Приведем это к такой форме пока:

$$x^2B^2+y^2A^2-2xyB\sqrt{A^2-\chi^2}-\chi^2B^2=0.$$

Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$.

Пусть есть система осей $x_1y_1$, в которой полуоси этого эллипса лежат на осях системы. Тогда в этой системе уравнение этого эллипса

$$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\tag{1}$$

где $a$ есть полуось по оси $x_1$, $b$ есть полуось по оси $y_1$.

Известно, что от координат одной системы можно перейти к координатам другой системы так [2]:

\begin{gathered} x_1=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\\ y_1=-x\sin\alpha+y\cos\alpha, \end{gathered}\tag{2}

где $\alpha$ есть угол, накоторый повернута система $x_1y_1$ относительно системы $xy$ (системы правосторонние, положительный угол поворота — против часовой стрелки).

Посмотрим, как будет выглядеть уравнение предполагаемого эллипса в исходной системе через переход от координат системы $x_1y_1$ к координатам системы $xy$. Подставляем систему $(2)$ в уравнение $(1)$ и после всевозможных упрощений получаем

$$x^2C+y^2D-2xyE-F=0$$

где

\begin{gathered} C=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\ D=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos2\alpha,\\ E=\cos\alpha\sin\alpha(a^2-b^2),\\ F=a^2b^2. \end{gathered}\tag{3}