Edits to “Пункт б”, “Ответ”
ru/3.4.3.md
+56 −2
| ### Условие | |||
| $3.4.3.$ а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний $A$, частота $\omega$. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость $v$, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия? | |||
| б$^*$. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость $v$ сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии $\chi$ от положения равновесия. | |||
| ### Решение | |||
| #### Пункт a | |||
| Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны. | |||
| После сообщение указанной скорости можем записать | |||
| $$ | |||
| x=A\cos\omega t, | |||
| \quad | |||
| y=B\sin\omega t, | |||
| $$ | |||
| где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$. | |||
| Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем | |||
| $$ | |||
| \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1. | |||
| $$ | |||
| Это — уравнение эллипса. | |||
| Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что | |||
| $$ | |||
| \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1. | |||
| $$ | |||
| Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$. | |||
| Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$. | |||
| #### Пункт б$^*$ | |||
| В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же: | |||
| $$ | |||
| y=B\sin\omega t. | |||
| $$ | |||
| А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$. | |||
| $$ | |||
| x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right). | |||
| $$ | |||
| Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]: | |||
| $$ | |||
| x=A\left(\sin\omega t\cos\varphi+\cos\omega t\sin\varphi\right) | |||
| $$ | |||
| Заметим, что $\chi=A\sin\varphi$: | |||
| $$ | |||
| x=A\cos\varphi\sin\omega t+\chi\cos\omega t. | |||
| $$ | |||
| Далее, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}$, так что, внося $A$ под корень и вспоминая предыдущее, пишем | |||
| $$ | |||
| \sqrt{A^2-\chi^2}\sin\omega t+\chi\cos\omega t. | |||
| $$ | |||
| C помощью $y=B\sin\omega t$ избавляемся от синуса и косинуса в предыдущей формуле: | |||
| $$ | |||
| x=\sqrt{A^2-\chi^2}\frac{y}{B}+\chi\sqrt{1-\frac{y^2}{B^2}}. | |||
| $$ | |||
| Вероятно связь коородинат описывается кривой второго порядка. Будем возводить в квадрат это уравнение. Удобно, например, избавиться от дробей и так преобразовать: | |||
| $$ | |||
| \left(xB-y\sqrt{A^2-\chi^2}\right)^2=\left(\chi\sqrt{B^2-y^2}\right)^2. | |||
| $$ | |||
| @@ -88,7 +88,7 @@Пункт б$^*$ | |||
| Приведем это к такой форме пока: | |||
| $$ | |||
| − | x^2B^2+y^2A^2-2xyB\sqrt{A^2-\chi^2}-\chi^2B^2=0. | ||
| + | x^2B^2+y^2A^2-2xyB\sqrt{A^2-\chi^2}-\chi^2B^2=0.\tag{$*$} | ||
| $$ | |||
| Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$. | |||
| Пусть есть система осей $x_1y_1$, в которой полуоси этого эллипса лежат на осях системы. Тогда в этой системе уравнение этого эллипса | |||
| $$ | |||
| \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\tag{1} | |||
| $$ | |||
| где $a$ есть полуось по оси $x_1$, $b$ есть полуось по оси $y_1$. | |||
| Известно, что от координат одной системы можно перейти к координатам другой системы так [2]: | |||
| $$ | |||
| \begin{gathered} | |||
| x_1=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\\\\ | |||
| y_1=-x\sin\alpha+y\cos\alpha, | |||
| @@ -110,7 +110,7 @@Пункт б$^*$ | |||
| \end{gathered}\tag{2} | |||
| $$ | |||
| − | где $\alpha$ есть угол, накоторый повернута система $x_1y_1$ относительно системы $xy$ (системы правосторонние, положительный угол поворота — против часовой стрелки). | ||
| + | где $\alpha$ есть угол, на который повернута система $x_1y_1$ относительно системы $xy$ (системы правосторонние, положительный угол поворота — против часовой стрелки). | ||
| Посмотрим, как будет выглядеть уравнение предполагаемого эллипса в исходной системе через переход от координат системы $x_1y_1$ к координатам системы $xy$. Подставляем систему $(2)$ в уравнение $(1)$ и после всевозможных упрощений получаем | |||
| $$ | |||
| x^2C+y^2D-2xyE-F=0 | |||
| $$ | |||
| где | |||
| $$ | |||
| \begin{gathered} | |||
| C=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\ | |||
| D=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos2\alpha,\\\\ | |||
| E=\cos\alpha\sin\alpha(a^2-b^2),\\\\ | |||
| F=a^2b^2. | |||
| @@ -129,10 +129,64 @@Пункт б$^*$ | |||
| \end{gathered}\tag{3} | |||
| $$ | |||
| + | Этот результат совпадает по форме с уравнением кривой $(*)$. Сопоставляя найденные коэффициенты $C,D,E,F$ с коэффициентами уравнения $(*)$, запишем | ||
| + | $$ | ||
| + | \begin{gathered} | ||
| + | B^2=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\ | ||
| + | A^2=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos^2\alpha. | ||
| + | \end{gathered}\tag{4} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда найдем полуось $a$: | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | a=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2\pm\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}. | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Из системы $(4)$ также | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | b^2=B^2+A^2-a^2, | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | отсюда полуось $b$: | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | b=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2\mp\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}. | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Траектория движения тут должна быть единственной из физических соображений. Две пары полуосей возможны, если они дают один и тот же эллипс. | ||
| + | |||
| + | Проверим угол $\alpha$ поворота системы $x_1y_1$ относительно $xy$. Подставим, к примеру, найденные решения для полуосей $a$ и $b$ в первое уравнение системы $(4)$, заменив синус на косинус: | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | B^2=b^2\cos^2\alpha+a^2-a^2\cos^2\alpha, | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | откуда решая: | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | \cos^2\alpha=\frac{A^2}{\pm\sqrt{(B^2+A^2)^2-4(\chi B)^2}}+1 | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Поскольку $\cos^2\alpha$ не больше единицы, то возможное решение с «нижним знаком». Поэтому решения для полуосей ограничиваются: | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | a^*=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2-\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}. | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | и | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | b^*=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2+\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}. | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| #### Ответ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.4.3.$ а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний $A$, частота $\omega$. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость $v$, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия? | $3.4.3.$ а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний $A$, частота $\omega$. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость $v$, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия? | ||
| б$^*$. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость $v$ сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии $\chi$ от положения равновесия. | б$^*$. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость $v$ сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии $\chi$ от положения равновесия. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| #### Пункт a | #### Пункт a | ||
| Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны. | Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны. | ||
| После сообщение указанной скорости можем записать | После сообщение указанной скорости можем записать | ||
| $$ | $$ | ||
| x=A\cos\omega t, | x=A\cos\omega t, | ||
| \quad | \quad | ||
| y=B\sin\omega t, | y=B\sin\omega t, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$. | где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$. | ||
| Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем | Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1. | \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1. | ||
| $$ | $$ | ||
| Это — уравнение эллипса. | Это — уравнение эллипса. | ||
| Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что | Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1. | \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1. | ||
| $$ | $$ | ||
| Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$. | Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$. | ||
| Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$. | Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$. | ||
| #### Пункт б$^*$ | #### Пункт б$^*$ | ||
| В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же: | В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же: | ||
| $$ | $$ | ||
| y=B\sin\omega t. | y=B\sin\omega t. | ||
| $$ | $$ | ||
| А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$. | А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$. | ||
| $$ | $$ | ||
| x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right). | x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right). | ||
| $$ | $$ | ||
| Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]: | Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]: | ||
| $$ | $$ | ||
| x=A\left(\sin\omega t\cos\varphi+\cos\omega t\sin\varphi\right) | x=A\left(\sin\omega t\cos\varphi+\cos\omega t\sin\varphi\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| Заметим, что $\chi=A\sin\varphi$: | Заметим, что $\chi=A\sin\varphi$: | ||
| $$ | $$ | ||
| x=A\cos\varphi\sin\omega t+\chi\cos\omega t. | x=A\cos\varphi\sin\omega t+\chi\cos\omega t. | ||
| $$ | $$ | ||
| Далее, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}$, так что, внося $A$ под корень и вспоминая предыдущее, пишем | Далее, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}$, так что, внося $A$ под корень и вспоминая предыдущее, пишем | ||
| $$ | $$ | ||
| \sqrt{A^2-\chi^2}\sin\omega t+\chi\cos\omega t. | \sqrt{A^2-\chi^2}\sin\omega t+\chi\cos\omega t. | ||
| $$ | $$ | ||
| C помощью $y=B\sin\omega t$ избавляемся от синуса и косинуса в предыдущей формуле: | C помощью $y=B\sin\omega t$ избавляемся от синуса и косинуса в предыдущей формуле: | ||
| $$ | $$ | ||
| x=\sqrt{A^2-\chi^2}\frac{y}{B}+\chi\sqrt{1-\frac{y^2}{B^2}}. | x=\sqrt{A^2-\chi^2}\frac{y}{B}+\chi\sqrt{1-\frac{y^2}{B^2}}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Вероятно связь коородинат описывается кривой второго порядка. Будем возводить в квадрат это уравнение. Удобно, например, избавиться от дробей и так преобразовать: | Вероятно связь коородинат описывается кривой второго порядка. Будем возводить в квадрат это уравнение. Удобно, например, избавиться от дробей и так преобразовать: | ||
| $$ | $$ | ||
| \left(xB-y\sqrt{A^2-\chi^2}\right)^2=\left(\chi\sqrt{B^2-y^2}\right)^2. | \left(xB-y\sqrt{A^2-\chi^2}\right)^2=\left(\chi\sqrt{B^2-y^2}\right)^2. | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -88,7 +88,7 @@Пункт б$^*$ | |||
| Приведем это к такой форме пока: | Приведем это к такой форме пока: | ||
| $$ | $$ | ||
| x^2B^2+y^2A^2-2xyB\sqrt{A^2-\chi^2}-\chi^2B^2=0. | x^2B^2+y^2A^2-2xyB\sqrt{A^2-\chi^2}-\chi^2B^2=0.\tag{$*$} | ||
| $$ | $$ | ||
| Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$. | Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$. | ||
| Пусть есть система осей $x_1y_1$, в которой полуоси этого эллипса лежат на осях системы. Тогда в этой системе уравнение этого эллипса | Пусть есть система осей $x_1y_1$, в которой полуоси этого эллипса лежат на осях системы. Тогда в этой системе уравнение этого эллипса | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\tag{1} | \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\tag{1} | ||
| $$ | $$ | ||
| где $a$ есть полуось по оси $x_1$, $b$ есть полуось по оси $y_1$. | где $a$ есть полуось по оси $x_1$, $b$ есть полуось по оси $y_1$. | ||
| Известно, что от координат одной системы можно перейти к координатам другой системы так [2]: | Известно, что от координат одной системы можно перейти к координатам другой системы так [2]: | ||
| $$ | $$ | ||
| \begin{gathered} | \begin{gathered} | ||
| x_1=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\\\\ | x_1=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\\\\ | ||
| y_1=-x\sin\alpha+y\cos\alpha, | y_1=-x\sin\alpha+y\cos\alpha, | ||
| @@ -110,7 +110,7 @@Пункт б$^*$ | |||
| \end{gathered}\tag{2} | \end{gathered}\tag{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| где $\alpha$ есть угол, накоторый повернута система $x_1y_1$ относительно системы $xy$ (системы правосторонние, положительный угол поворота — против часовой стрелки). | где $\alpha$ есть угол, на который повернута система $x_1y_1$ относительно системы $xy$ (системы правосторонние, положительный угол поворота — против часовой стрелки). | ||
| Посмотрим, как будет выглядеть уравнение предполагаемого эллипса в исходной системе через переход от координат системы $x_1y_1$ к координатам системы $xy$. Подставляем систему $(2)$ в уравнение $(1)$ и после всевозможных упрощений получаем | Посмотрим, как будет выглядеть уравнение предполагаемого эллипса в исходной системе через переход от координат системы $x_1y_1$ к координатам системы $xy$. Подставляем систему $(2)$ в уравнение $(1)$ и после всевозможных упрощений получаем | ||
| $$ | $$ | ||
| x^2C+y^2D-2xyE-F=0 | x^2C+y^2D-2xyE-F=0 | ||
| $$ | $$ | ||
| где | где | ||
| $$ | $$ | ||
| \begin{gathered} | \begin{gathered} | ||
| C=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\ | C=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\ | ||
| D=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos2\alpha,\\\\ | D=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos2\alpha,\\\\ | ||
| E=\cos\alpha\sin\alpha(a^2-b^2),\\\\ | E=\cos\alpha\sin\alpha(a^2-b^2),\\\\ | ||
| F=a^2b^2. | F=a^2b^2. | ||
| @@ -129,10 +129,64 @@Пункт б$^*$ | |||
| \end{gathered}\tag{3} | \end{gathered}\tag{3} | ||
| $$ | $$ | ||
| Этот результат совпадает по форме с уравнением кривой $(*)$. Сопоставляя найденные коэффициенты $C,D,E,F$ с коэффициентами уравнения $(*)$, запишем | |||
| $$ | |||
| \begin{gathered} | |||
| B^2=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\\\ | |||
| A^2=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos^2\alpha. | |||
| \end{gathered}\tag{4} | |||
| $$ | |||
| Отсюда найдем полуось $a$: | |||
| $$ | |||
| a=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2\pm\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}. | |||
| $$ | |||
| Из системы $(4)$ также | |||
| $$ | |||
| b^2=B^2+A^2-a^2, | |||
| $$ | |||
| отсюда полуось $b$: | |||
| $$ | |||
| b=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2\mp\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}. | |||
| $$ | |||
| Траектория движения тут должна быть единственной из физических соображений. Две пары полуосей возможны, если они дают один и тот же эллипс. | |||
| Проверим угол $\alpha$ поворота системы $x_1y_1$ относительно $xy$. Подставим, к примеру, найденные решения для полуосей $a$ и $b$ в первое уравнение системы $(4)$, заменив синус на косинус: | |||
| $$ | |||
| B^2=b^2\cos^2\alpha+a^2-a^2\cos^2\alpha, | |||
| $$ | |||
| откуда решая: | |||
| $$ | |||
| \cos^2\alpha=\frac{A^2}{\pm\sqrt{(B^2+A^2)^2-4(\chi B)^2}}+1 | |||
| $$ | |||
| Поскольку $\cos^2\alpha$ не больше единицы, то возможное решение с «нижним знаком». Поэтому решения для полуосей ограничиваются: | |||
| $$ | |||
| a^*=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2-\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}. | |||
| $$ | |||
| и | |||
| $$ | |||
| b^*=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2+\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}. | |||
| $$ | |||
| #### Ответ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||