Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #17955 parent #17954 ← older newer →
ru/7.2.7.md +103 −3
@@ -1,11 +1,111 @@
### Условие
−$7.2.7.$ [Вставьте условие задачи]
+$7.2.7.$ Параллельный пучок протонов, ускоренных разностью потенциалов $V_{0}$, летит вдоль оси двух круглых небольших соосных отверстий в обкладках конденсатора. На каком расстоянии от второй обкладки сфокусируется этот пучок, если потенциал второй обкладки равен $V$ ? Первая обкладка заземлена. Расстояние между обкладками $d$.
+![К задаче $7.2.7$|360x174, 40%](../../img/7.2.7/7.2.7.png)
+
### Решение
−asd
+Перед прочтением решения данной задачи, я рекомендую ознакомиться с решением задачи $7.2.6.$, поскольку я буду использовать результат той задачи при решении.
+В решении я предполагаю параксиальное приближение - протоны распространяются под очень малыми углами к оси симметрии системы.
+
+Отверстие в обкладке конденсатора, разделяющее области с разной напряженностью поля $E_{1}$ и
+$E_{2}$, действует как электростатическая линза. Фокусное расстояние такой линзы найдено в задаче $7.2.6.$:
+
+$$f=\frac{4U}{E_{2}-E_{1}}$$
+
+где $U$ - потенциал эквивалентный кинетической энергии протона при приближении к отверстию; $E_{1}$ - напряжённость поля до отверстия; $E_{2}$ - напряжённость поля после отверстия.
+
+У нас два отверстия, а значит две линзы. Вне конденсатора поле отсутствует, внутри конденсатора $E=\frac{V}{d}$. Кинетическая энергия протонов при приближении к первому отверстию определяется ускоряющей разностью потенциалов $V_{0}$. Тогда фокусное расстояние первой линзы (отверстия):
+
+$$f_{1}=\frac{4V_{0}}{\frac{V}{d}-0}=\frac{4dV_{0}}{V} \tag{1}$$
+
+Поскольку $f_{1}\gt 0$ - это собирающая линза, то есть она "прижимает" пучок протонов к оси, радиус пучка уменьшается.
+
+Для второй линзы (отверстия) кинетическая энергия протонов будет определяться разностью потенциалов $V_{0}+V$, так как протоны ускоряются полем внутри конденсатора. Тогда фокусное расстояние второй линзы (отверстия):
+
+$$f_{2}=\frac{4(V_{0}+V)}{0-\frac{V}{d}}=-\frac{4d(V_{0}+V)}{V} \tag{2}$$
+
+Поскольку $f_{2}\lt 0$ - это рассеивающая линза, то есть она увеличивает радиус пучка протонов.
+
+Так как у нас первой стоит собирающая линза, то фокусировка пучка возможна в двух разных областях системы. Первый - внутри конденсатора, то есть на расстоянии $L\lt d$ от первой обкладки. Второй - вне конденсатора. Отмечу сразу, что пучок сфокусируется обязательно, поскольку оптическая сила первой линзы больше, чем второй:
+
+$$\left| \frac{1}{f_{1}} \right|\gt \left| \frac{1}{f_{2}} \right|$$
+
+Рассмотрим первый $\textbf{случай фокусировки внутри конденсатора}$.
+
+Пусть $r_{0}$ - начальный радиус пучка. Протон, проходя через область неоднородного поля вблизи отверстия, получает радиальный импульс. Обозначим приобретаемую радиальную скорость протона $\upsilon_{r0}$. Так как ширина отверстия очень мала, то изменения в ней скорости протонов вдоль оси симметрии при прохождении отверстия нет. Эта скорость равна:
+
+$$\upsilon_{x0}=\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}} \tag{3}$$
+
+С одной стороны тангенс угла отклонения пучка равен:
+
+$$\tan\alpha=\frac{\upsilon_{r0}}{\upsilon_{x0}}$$
+
+А с другой стороны, по определению:
+
+$$\tan\alpha=\frac{r_{0}}{f_{1}}$$
+
+Тогда:
+
+$$\upsilon_{r0}=\upsilon_{x0}\cdot\frac{r_{0}}{f_{1}} \tag{4}$$
+
+Внутри конденсатора поле действует только вдоль оси симметрии, поэтому радиальная скорость сохраняется $\upsilon_{r}=\upsilon_{r0}=const$.
+
+Зависимость радиуса пучка от времени будет:
+
+$$r(t)=r_{0}-\upsilon_{r0}t=r_{0}\left( 1-\frac{\upsilon_{x0}}{f_{1}}t \right)$$
+
+Время $\tau$, когда радиус пучка станет равен 0:
+
+$$r(\tau)=0=r_{0}\left( 1-\frac{\upsilon_{x0}}{f_{1}}\tau \right)\Longrightarrow \tau=\frac{f_{1}}{\upsilon_{x0}}$$
+
+Подставим значения из (1) и (3):
+
+$$\tau=\frac{4dV_{0}}{V}\sqrt{\frac{m}{2eV_{0}}} \tag{5}$$
+
+Вдоль оси симметрии на протоны действует электрическое поле с силой:
+
+$$F=eE=\frac{eV}{d}$$
+
+Под действием этой силы протоны получают ускорение:
+
+$$a=\frac{F}{m}=\frac{eV}{md} \tag{6}$$
+
+Координата $x(t)$ при равноускоренном движении:
+
+$$x(t)=\upsilon_{x0}t+\frac{at^{2}}{2}$$
+
+Протоны сфокусируются на расстоянии $L=x(\tau)$:
+
+$$L=\upsilon_{x0}\tau+\frac{a\tau^{2}}{2}$$
+
+Подставим сюда формулы (3), (5) и (6):
+
+$$L=\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}}\frac{4dV_{0}}{V}\sqrt{\frac{m}{2eV_{0}}}+\frac{1}{2}\frac{eV}{md}\left( \frac{4dV_{0}}{V}\sqrt{\frac{m}{2eV_{0}}} \right)^{2}=\frac{8dV_{0}}{V}$$
+
+Поскольку $L\lt d$, то должно быть: $V\gt 8V_{0}$.
+
+При $V=8V_{0}$ пучок сфокусируется прямо во втором отверстии: $L=d$.
+
+Теперь рассмотри второй случай $\textbf{фокусировка вне пластин (учёт обоих отверстий)}$.
+
+Продолжение следует.....
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$L=\frac{4}{3}d\left( 1+\frac{V_{0}}{V} \right)\left( 2\frac{V_{0}}{V}+2\sqrt{\frac{V_{0}}{V}\left( \frac{V_{0}}{V}+1 \right)}-1 \right)$$
+
+при $$V\lt 8V_{0}$$
+
+и на расстоянии $$L=\frac{8dV_{0}}{V}$$
+
+от первой обкладки при $$V\gt 8V_{0}$$
+
+При $V=8V_{0}$
+
+$$L=d$$
+
+от первой обкладки.