Решение

Внутри длинного внешнего соленоида при протекании тока $I_{1}$ создается однородное магнитное поле, индукция которого равна:

$$B_{1}=\mu_{0}nI_{1}$$

Магнитный поток $\Phi_{12}$, пронизывающий один виток внутреннего соленоида, создается полем внешнего соленоида $B_{1}$. Поскольку внутренний соленоид находится полностью внутри внешнего, поток через его сечение $S=\pi r^{2}$ равен:

$$\Phi_{12} = B_1 S = \mu_0 n I_1 \pi r^2$$

Полный магнитный поток $\Psi$ через все $N$ витков внутреннего соленоида составляет:

$$\Psi=N\cdot\Phi_{12}=\mu_{0}nNI_{1}\pi r^{2}$$

По определению, взаимная индуктивность — это коэффициент пропорциональности между полным магнитным потоком во второй катушке и током в первой:

$$L_{12}=\frac{\Psi}{I_{1}}=\frac{\mu_{0}nNI_{1}\pi r^{2}}{I_{1}}=\mu_{0}nN\pi r^{2}$$