Решение

Пусть имеется горизонтальная поверхность с коэффициентом трения скольжения $\mu$, которая колеблется вдоль прямой, проходящей через нее, с большой частотой $\omega$. Указанную прямую назовем $y$, прямую, перпендикулярную ей и лежащую на поверхности, назовем $x$.

Далее, на поверхности в соприкосновении оказывается тело, движущееся в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Обозначим скорость тела $\vec V$; проекции этой скорости на оси $x,y$ равны $V_x,V_y$ соответственно.

Кроме того, действие на тело усилия моделируется внешней силой $\vec F$, лежащей в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Ее проекции на оси $x,y$ равны $F_x,F_y$.

Скорость колеблющейся плоскости $\vec v$. Ее проекция на ось $y$ меняется по закону

$$v_y=v_0\sin(\omega t),$$

где $v_0$ есть амплитуда скорости, разумеется ($v_x=0$).

Рассмотрим случай

$$V\ll v_0,\quad V_x\sim V_y,\quad F_x\sim F_y.$$

Движение вдоль оси колебаний

Изобразим качественный рисунок для определения силы трения скольжения $\vec f$, действующей на тело в плоскости его движения. Начнем с момента времени $t=0$.

Сила $\vec f$, как можно показать, направлена вдоль скорости $\vec v-\vec V$ (это скорость плоскости относительно тела!).

Рассмотрим приближение постоянной скорости тела в течение одного периода $T$ колебаний плоскости — то есть будем интересовать законом движения тела в элементах времени, равных $T$. Сам закон движения будем выводить из уравнения изменения импульса тела за время $T$ [1,2].

В пределах одного периода начиная с момента $t=0$ сила $\vec f$ будет меняться по направлению. Можно убедиться, что модуль проекции этой силы на ось $y$ будет равен

$$f_y=\mu mg\frac{v_0\sin\omega t-V_y}{\sqrt{V_x^2+\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}}.$$

Можно заметить, что

$$f_y>0\quad при\ \tau<t<T/2-\tau,$$

а также

$$f_y<0\quad при\ \tau<t<T/2-\tau$$

и

$$f_y<0\quad при\ T/2-\tau<t<T,$$

где $\tau=\dfrac{V_y}{v_0\omega}$ с учетом $V\ll v_0$.