Решение

Пусть имеется горизонтальная поверхность с коэффициентом трения скольжения $\mu$, которая колеблется вдоль прямой, проходящей через нее, с большой частотой $\omega$. Указанную прямую назовем $y$, прямую, перпендикулярную ей и лежащую на поверхности, назовем $x$.

Далее, на поверхности в соприкосновении оказывается тело, движущееся в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Обозначим скорость тела $\vec V$; проекции этой скорости на оси $x,y$ равны $V_x,V_y$ соответственно.

Кроме того, действие на тело усилия моделируется внешней силой $\vec F$, лежащей в плоскости, параллельной колеблющейся поверхности. Ее проекции на оси $x,y$ равны $F_x,F_y$.

Скорость колеблющейся плоскости $\vec v$. Ее проекция на ось $y$ меняется по закону

$$v_y=v_0\sin(\omega t),$$

где $v_0$ есть амплитуда скорости, разумеется ($v_x=0$).

Рассмотрим случай

$$V\ll v_0,\quad V_x\sim V_y,\quad F_x\sim F_y.$$

Движение вдоль оси колебаний

Изобразим качественный рисунок для определения силы трения скольжения $\vec f$, действующей на тело в плоскости его движения. Начнем с момента времени $t=0$.

Сила $\vec f$, как можно показать, направлена вдоль скорости $\vec v-\vec V$ (это скорость плоскости относительно тела!).

Рассмотрим приближение постоянной скорости тела в течение одного периода $T$ колебаний плоскости — то есть будем интересовать законом движения тела в элементах времени, равных $T$. Сам закон движения будем выводить из уравнения изменения импульса тела за время $T$ [1,2].

В пределах одного периода начиная с момента $t=0$ сила $\vec f$ будет меняться по направлению. Можно убедиться, что проекция этой силы на ось $y$ будет равна

$$f_y=\mu mg\frac{v_0\sin\omega t-V_y}{\sqrt{V_x^2+\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}}.\tag{1}$$

Можно заметить, что

$$f_y>0\quad при\ \tau<t<T/2-\tau,$$

а также

$$f_y<0\quad при\ 0<t<\tau$$

и

$$f_y<0\quad при\ T/2-\tau<t<T,$$

где $\tau=\dfrac{V_y}{v_0\omega}$ с учетом $V\ll v_0$ (это время, когда $f_y=0$ в первый раз).

Упростим $(1)$, поделив числитель и знаменатель на $v_0\sin\omega t-V_y$; получим для модуля

$$|f_y|=\mu mg\frac{1}{\sqrt{1+\frac{V_x^2}{\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}}}.\tag{2}$$

При условии $V\ll v_0$ зависимость $|f_y|(t)$ достаточно прямоугольная и, конечно, периодическая. Вот пример для $V_x=V_y=0.03v_0$ (Asymptote-графика).

Величина $|f_y|$ очень быстро устанавливается на значении $\mu mg$, есть только кратковременные острые снижения до нуля. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально. Красным цветом обозначено, когда проекция $f_y>0$, синим — когда $f_y<0$.

Теперь не будет большой ошибкой записать уравнение изменения импульса по оси $y$ за время $T$:

$$F_yT+\left(\mu mg(T/2-2\tau)-\mu mg(T/2+2\tau)\right)=m\Delta V_y,$$

что превращается в

$$F_y-4\mu mg\dfrac{V_y}{v_0\omega}=m\frac{dV_y}{dt}$$

при рассмотрении $T\equiv dt$ для наблюдателя, не замечающего, что происходит со скоростью тела в течении периода $T$.

Величина $4\mu mg\dfrac{V_y}{v_0\omega}$ эквивалентна силе сопротивления, зависящей от скорости $V_y$. Итак, для указанного наблюдателя по оси $y$ скорость меняется так, как будто вдоль этого направления телу препятствует сила вязкого трения (как по воде).

Движение перпендикулярно оси колебаний

Учитывая предыдущее, проекция силы трения на ось $x$:

$$f_x=-\mu mg\frac{V_x}{\sqrt{v_x^2+\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}}$$

или

$$f_x=-\mu mg\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\left(v_0\sin\omega t-V_y\right)^2}{V_x^2}}}.$$

Посмотрим на качественный график $|f_x|(t)$, допустим, для $V_x=V_y=0.03v_0$.

Величина $|f_x|$ за период $T$ практически постоянно держится на уровне малом по сравнению с $\mu mg$. Лишь два раза за это время она испытывает кратковременные скачки до значения $\mu mg$. Случай $V_x\neq V_y$ не отличается принципиально.

Уравнение изменения импульса за время $T$ по оси $x$ можно записать так:

$$F_xT+\Delta p_x=m\Delta V_x,$$

где $\Delta p_x$ есть импульс проекции силы $f_x$ за время $T$, равный площади под графиком на рисунке зависимости $|f_x|(t)$ на интервале $T$.

Оценивая график указанной зависимостию, говорим: практически $\Delta p_x\ll\mu mgT$. Можно представить, что $\Delta p_x$ набирается некоторой эквивалентной постоянной проекцией силы трения на ось $x$, обозначим ее $\tilde f_x$, так что

$$\Delta p_x=\tilde f_xT$$

и для этой силы ввести

[продолжение следует...]