Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #17995 parent #17994 ← older
ru/14.1.14.md +52 −3
@@ -1,11 +1,60 @@
### Условие
−$14.1.14.$ [Вставьте условие задачи]
+$14.1.14.$ Лодочник под мостом уронил в воду багор. Через время $\tau$ , находясь на расстоянии $L$ от моста, он обнаружил потерю и, повернув назад, догнал багор на расстоянии $l$ от моста. Время и расстояния приведены в системе «берег». Какова скорость реки? Получите релятивистский ответ и из него нерелятивистское приближение.
+![К задаче $14.1.14$|402x137, 40%](../../img/14.1.14/14.1.14.png)
+
### Решение
−asd
+$\textbf{Эпиграф: "Каждые найденные багры счастливы одинаково, а каждый потерянный багор несчастен по своему".}$ (Перефразировка классика)
+Пусть $u$ - собственная скорость лодки относительно воды, а $\upsilon$ - скорость реки относительно берега. В системе отсчёта "берег" скорость лодки по течению $V_{1}$ и против течения $V_{2}$ определяются релятивистской формулой сложения скоростей:
+
+$$V_{1}=\frac{u+\upsilon}{1+\frac{u\upsilon}{c^{2}}}$$
+$$V_{2}=\frac{u-\upsilon}{1-\frac{u\upsilon}{c^{2}}}$$
+
+Скорость багра в системе "берега" равна скорости реки $\upsilon$.
+
+Лодочник упустил багор под мостом с пространственно-временной координатой $x=0, t=0$. Через время $\tau$ по часам "берега" лодка оказалась на расстоянии $L$:
+
+$$L=V_{2}\cdot\tau=\frac{u-\upsilon}{1-\frac{u\upsilon}{c^{2}}}\cdot\tau \tag{1}$$
+
+Лодочник разворачивается и догоняет багор на расстоянии $l$ от моста. Пусть $t^{'}$ - время движения лодки назад до момента встречи с багром. Багор за время разлуки с лодочником преодолеет расстояние:
+
+$$l=\upsilon(\tau+t^{'})$$
+
+Отсюда:
+
+$$t^{'}=\frac{l}{\upsilon}-\tau$$
+
+Расстояние, которое прошла лодка назад:
+
+$$L+l=V_{1}\cdot t^{'}=\frac{u+\upsilon}{1+\frac{u\upsilon}{c^{2}}}\cdot\left( \frac{l}{\upsilon}-\tau \right) \tag{2}$$
+
+Итак, мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $u$ и $\upsilon$. Из-за скучности и громоздкости алгебраических преобразований я их буду опускать и писать сразу результат. Из (1) выражу $u$:
+
+$$u=\frac{c^{2}(L+\upsilon\tau)}{c^{2}\tau+L\upsilon}$$
+
+Подставим в (2) и после долгих преобразований получим квадратное уравнение относительно $\upsilon$:
+
+$$(2L+l)\upsilon^{2}+2c^{2}\tau\upsilon-lc^{2}=0$$
+
+Нас интересует только положительный корень:
+
+$$\boxed{\upsilon=\frac{\tau c^{2}}{l+2L}\left( \sqrt{1+\frac{l(l+2L)}{c^{2}\tau^{2}}} -1\right)}$$
+
+Нерелятивистское приближение получается при $l\ll c\tau$ и $L\ll c\tau$, тогда воспользовавшись формулой $(1+x)^{\alpha}\approx 1+\alpha x$ при $x\ll 1$, получим:
+
+$$\boxed{\upsilon_{кл}=\frac{\tau c^{2}}{l+2L}\left( 1+\frac{l(l+2L)}{2c^{2}\tau^{2}} -1\right)=\frac{l}{2\tau}}$$
+
+В ответе задачника то ли опечатки, то ли просто неверный ответ.
+
+В рамках классической механики эта задача решается элементарно. Перейдём в систему отсчёта связанную с рекой. В этой системе вода неподвижна и багор наш неподвижен. Лодочник отдаляется от неподвижного багра время $\tau$, а потом с той же скоростью приближается к багру за тоже время $\tau$. Общее время разлуки багра с лодочником будет $2\tau$. За это время сам багор преодолел расстояние $l$ в системе отсчёта "берег", и преодолевал он его со скоростью реки $\upsilon$:
+
+$$l=\upsilon\cdot2\tau\Longrightarrow \upsilon=\frac{l}{2\tau}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\upsilon=\frac{\tau c^{2}}{l+2L}\left( \sqrt{1+\frac{l(l+2L)}{c^{2}\tau^{2}}} -1\right)$$
+$$\upsilon_{кл}=\frac{l}{2\tau}$$
+при $l\ll c\tau$ и $L\ll c\tau$