| @@ -1,9 +1,9 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $3.6.12.$ При действии продольных сил, растягивающих или сжимающих упругое тело, изменяются не |
| $3.6.12.$ При действии продольных сил, растягивающих или сжимающих упругое тело, изменяются не |
| только его продольные, но и поперечные размеры. Рассмотрите модель ячейки кристалла, в которой связи атомов представлены пружинами. Жесткость диагональных пружин $k$, остальных — $k_{0}$. Определите отношение сжатия поперечных пружин к удлинению продольных при малых деформациях. |
| только его продольные, но и поперечные размеры. Рассмотрите модель ячейки кристалла, в которой связи атомов представлены пружинами. Жесткость диагональных пружин $k$, остальных — $k_{0}$. Определите отношение сжатия поперечных пружин к удлинению продольных при малых деформациях. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Для решения задачи буду использовать энергетический подход. Пусть исходная ячейка представляет собой квадрат со стороной $a$. При растяжении ячейки вдоль горизонтальной оси её длина увеличивается на величину удлинения продольных пружин $\Delta x$. При этом в поперечном направлении ячейка сжимается, уменьшая свою высоту на величину сжатия поперечных пружин $\Delta y$. | | Для решения задачи буду использовать энергетический подход. Пусть исходная ячейка представляет собой квадрат со стороной $a$. При растяжении ячейки вдоль горизонтальной оси её длина увеличивается на величину удлинения продольных пружин $\Delta x$. При этом в поперечном направлении ячейка сжимается, уменьшая свою высоту на величину сжатия поперечных пружин $\Delta y$. |
| | | |
| Исходная длина диагонали равна $d_{0}=a\sqrt{2}$. Новая длина диагонали $d$ после деформации составляет: | | Исходная длина диагонали равна $d_{0}=a\sqrt{2}$. Новая длина диагонали $d$ после деформации составляет: |
| | | |
| $$d=\sqrt{(a+\Delta x)^{2}+(a-\Delta y)^{2}}=\sqrt{a^{2}+2a\Delta x+(\Delta x)^{2}+a^{2}-2a\Delta y+(\Delta y)^{2}}$$ | | $$d=\sqrt{(a+\Delta x)^{2}+(a-\Delta y)^{2}}=\sqrt{a^{2}+2a\Delta x+(\Delta x)^{2}+a^{2}-2a\Delta y+(\Delta y)^{2}}$$ |
| | | |
| Учитывая, что деформации малы $\Delta x \ll a$ и $\Delta y \ll a$, пренебрежём квадратичными членами: | | Учитывая, что деформации малы $\Delta x \ll a$ и $\Delta y \ll a$, пренебрежём квадратичными членами: |
| | | |
| $$d\approx\sqrt{2a^{2}+2a(\Delta x-\Delta y)}=a\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+\frac{\Delta x-\Delta y}{a}}$$ | | $$d\approx\sqrt{2a^{2}+2a(\Delta x-\Delta y)}=a\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+\frac{\Delta x-\Delta y}{a}}$$ |
| | | |
| Используя формулу $\sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\frac{\varepsilon}{2}$: | | Используя формулу $\sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\frac{\varepsilon}{2}$: |
| | | |
| $$d\approx a\sqrt{2}\left(1+\frac{\Delta x-\Delta y}{2a}\right)=a\sqrt{2}+\frac{\Delta x-\Delta y}{\sqrt{2}}$$ | | $$d\approx a\sqrt{2}\left(1+\frac{\Delta x-\Delta y}{2a}\right)=a\sqrt{2}+\frac{\Delta x-\Delta y}{\sqrt{2}}$$ |
| | | |
| Следовательно, удлинение каждой диагональной пружины равно: | | Следовательно, удлинение каждой диагональной пружины равно: |
| | | |
| $$\Delta d=d-d_0=\frac{\Delta x-\Delta y}{\sqrt{2}}$$ | | $$\Delta d=d-d_0=\frac{\Delta x-\Delta y}{\sqrt{2}}$$ |
| | | |
| Полная потенциальная энергия упругой деформации ячейки состоит из энергии двух продольных, двух поперечных и двух диагональных пружин: | | Полная потенциальная энергия упругой деформации ячейки состоит из энергии двух продольных, двух поперечных и двух диагональных пружин: |
| | | |
| $$E=2\cdot\frac{k_{0}(\Delta x)^{2}}{2}+2\cdot\frac{k_{0}(\Delta y)^{2}}{2}+2\cdot\frac{k (\Delta d)^{2}}{2}$$ | | $$E=2\cdot\frac{k_{0}(\Delta x)^{2}}{2}+2\cdot\frac{k_{0}(\Delta y)^{2}}{2}+2\cdot\frac{k (\Delta d)^{2}}{2}$$ |
| $$E=k_{0}(\Delta x)^{2}+k_{0}(\Delta y)^{2}+k\left(\frac{\Delta x-\Delta y}{\sqrt{2}}\right)^{2}=k_{0}(\Delta x)^{2}+k_{0}(\Delta y)^{2}+\frac{k}{2}(\Delta x-\Delta y)^{2}$$ | | $$E=k_{0}(\Delta x)^{2}+k_{0}(\Delta y)^{2}+k\left(\frac{\Delta x-\Delta y}{\sqrt{2}}\right)^{2}=k_{0}(\Delta x)^{2}+k_{0}(\Delta y)^{2}+\frac{k}{2}(\Delta x-\Delta y)^{2}$$ |
| | | |
| По вертикали внешних сил нет, значит при фиксированном $\Delta x$: | | По вертикали внешних сил нет, значит при фиксированном $\Delta x$: |
| | | |
| $$\frac{\partial E}{\partial (\Delta y)}=0$$ | | $$\frac{\partial E}{\partial (\Delta y)}=0$$ |
| | | |
| То есть система принимает такую поперечную деформацию $\Delta y$, при которой её потенциальная энергия минимальна. Возьмем производную: | | То есть система принимает такую поперечную деформацию $\Delta y$, при которой её потенциальная энергия минимальна. Возьмем производную: |
| | | |
| $$\frac{\partial E}{\partial (\Delta y)}=2k_{0}\Delta y+\frac{k}{2}\cdot 2(\Delta x-\Delta y) \cdot (-1)=0$$ | | $$\frac{\partial E}{\partial (\Delta y)}=2k_{0}\Delta y+\frac{k}{2}\cdot 2(\Delta x-\Delta y) \cdot (-1)=0$$ |
| $$2k_{0}\Delta y-k(\Delta x-\Delta y)=0$$ | | $$2k_{0}\Delta y-k(\Delta x-\Delta y)=0$$ |
| | | |
| Отсюда: | | Отсюда: |
| | | |
| $$\Delta y(2k_{0}+k)=k\Delta x$$ | | $$\Delta y(2k_{0}+k)=k\Delta x$$ |
| | | |
| Окончательно: | | Окончательно: |
| | | |
| $$\nu=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k}{k+2k_{0}}$$ | | $$\nu=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k}{k+2k_{0}}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$\nu=\frac{k}{k+2k_{0}}$$ | | $$\nu=\frac{k}{k+2k_{0}}$$ |
| | | |
| ### Альтернативное решение | | ### Альтернативное решение |
| | | |
| Для тех, кто любит решать через силы: | | Для тех, кто любит решать через силы: |
| | | |
|  | |  |
