### Solution
По мере нагревания газа сначала будет расти давление при постоянном объеме, так как чтобы сдвинуть поршень, нужно преодолеть силу трения. Тогда зависимость температуры от Q будет разной, в зависимости от того, начал поршень движение или нет. Будем считать, что зависимость имеет один вид, пока $Q \le Q_1$, и другой вид, когда $Q \ge Q_1$.
Это же равенство сохранится при равномерном движении поршня. Для того, чтобы поршень начал движение, необходимо, чтобы сила давления газа преодолела силу давления атмосферы и максимальную силу трения покоя. Тогда, спроецировав силы на горизонтальную ось, получим:
$$F_{газа} = F_{трения} + F_{атм}$$
$$ pS = F + p_0 S $$
$$ p = p_0 + \frac{F}{S}$$
Это давление, необходимое для начала движения поршня.
В ходе начального нагревания газа до указанного давления верно следующее (так как процесс изохорный):
$$\frac{p_0}{T_0} = \frac{p}{T}$$
Тогда можно найти температуру начала движения поршня:
На этом участке поршень движется. Сила трения во время движения постоянна, сила давления атмосферы также постоянна, а значит сила давления газа тоже постоянна. Следовательно процесс изобарный и давление в нём:
$$ p = p_0 + \frac{F}{S}$$
Количество теплоты, переданное газу от спирали складывается из двух частей - переданного до начала движения поршня Q1 и переданного после этого Q2:
$$Q = Q_1 + Q_2$$
Известно, что половина тепла, выделяющегося при трении поршня о стенки возвращается в газ, тогда первый закон термодинамики будет выглядеть так:
$$Q_2 + Q_{тр} = A' + \Delta U$$
Рассмотрим работу трения на перемещении поршня $x$:
$$ A_{тр} = F x $$
Изменение объема газа на этом перемещении:
$$\Delta V = xS $$
А с другой стороны из уравнения Менделеева-Клапейрона для идеального газа:
$$\Delta V = \frac{\nu R \Delta T}{p} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}}$$
Тогда перемещение поршня можно выразить следующим образом:
$$ x = \frac{\Delta V}{S} = \frac{1}{S}\frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$
И тогда работа трения:
$$A_{тр} = F \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$
Половина этой энергии возвращается в газ:
$$Q_{тр} = \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)}$$
Работа газа в изобарном процессе:
$$ A' = p \Delta V = \nu R \Delta T$$
Изменение внутренней энергии газа, как уже было показано выше:
$$\Delta U = c \Delta T $$
Запишем первый закон термодинамики, подставив в него полученные выражения для количества теплоты от работы трения, передаваемого газу, работы газа, а также изменение внутренней энергии газа:
$$ Q_2 + \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)} = \nu R \Delta T + c \Delta T $$
Преобразуем:
$$Q_2 = \Delta T \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)}\right) $$
Изменение температуры отсчитываем с момента начала движения поршня:
$$\Delta T = T - T_1 = T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) $$
@@ -112,9 +112,47 @@Второй участок
Количество теплоты, переданное газу после начала движения поршня от спирали:
−
$$ Q_2 = Q - Q_1 = $$
+
$$ Q_2 = Q - Q_1 = Q - \frac{cT_0F}{p_0S}$$
+
Получаем:
+
$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) \right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)}\right)$$
+
+
$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 - \frac{T_0 F}{p_0S}\right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)}\right)$$
+
+
$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \nu R T - \nu R T_0 - \frac{\nu R T_0 F}{p_0S} + cT - cT_0 -\frac{cT_0F}{p_0S} - \frac{T F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F^2 \nu R}{2p_0S(p_0 S + F)}$$
### Solution
### Solution
По мере нагревания газа сначала будет расти давление при постоянном объеме, так как чтобы сдвинуть поршень, нужно преодолеть силу трения. Тогда зависимость температуры от Q будет разной, в зависимости от того, начал поршень движение или нет. Будем считать, что зависимость имеет один вид, пока $Q \le Q_1$, и другой вид, когда $Q \ge Q_1$.
По мере нагревания газа сначала будет расти давление при постоянном объеме, так как чтобы сдвинуть поршень, нужно преодолеть силу трения. Тогда зависимость температуры от Q будет разной, в зависимости от того, начал поршень движение или нет. Будем считать, что зависимость имеет один вид, пока $Q \le Q_1$, и другой вид, когда $Q \ge Q_1$.
Это же равенство сохранится при равномерном движении поршня. Для того, чтобы поршень начал движение, необходимо, чтобы сила давления газа преодолела силу давления атмосферы и максимальную силу трения покоя. Тогда, спроецировав силы на горизонтальную ось, получим:
Это же равенство сохранится при равномерном движении поршня. Для того, чтобы поршень начал движение, необходимо, чтобы сила давления газа преодолела силу давления атмосферы и максимальную силу трения покоя. Тогда, спроецировав силы на горизонтальную ось, получим:
$$F_{газа} = F_{трения} + F_{атм}$$
$$F_{газа} = F_{трения} + F_{атм}$$
$$ pS = F + p_0 S $$
$$ pS = F + p_0 S $$
$$ p = p_0 + \frac{F}{S}$$
$$ p = p_0 + \frac{F}{S}$$
Это давление, необходимое для начала движения поршня.
Это давление, необходимое для начала движения поршня.
В ходе начального нагревания газа до указанного давления верно следующее (так как процесс изохорный):
В ходе начального нагревания газа до указанного давления верно следующее (так как процесс изохорный):
$$\frac{p_0}{T_0} = \frac{p}{T}$$
$$\frac{p_0}{T_0} = \frac{p}{T}$$
Тогда можно найти температуру начала движения поршня:
Тогда можно найти температуру начала движения поршня:
На этом участке поршень движется. Сила трения во время движения постоянна, сила давления атмосферы также постоянна, а значит сила давления газа тоже постоянна. Следовательно процесс изобарный и давление в нём:
На этом участке поршень движется. Сила трения во время движения постоянна, сила давления атмосферы также постоянна, а значит сила давления газа тоже постоянна. Следовательно процесс изобарный и давление в нём:
$$ p = p_0 + \frac{F}{S}$$
$$ p = p_0 + \frac{F}{S}$$
Количество теплоты, переданное газу от спирали складывается из двух частей - переданного до начала движения поршня Q1 и переданного после этого Q2:
Количество теплоты, переданное газу от спирали складывается из двух частей - переданного до начала движения поршня Q1 и переданного после этого Q2:
$$Q = Q_1 + Q_2$$
$$Q = Q_1 + Q_2$$
Известно, что половина тепла, выделяющегося при трении поршня о стенки возвращается в газ, тогда первый закон термодинамики будет выглядеть так:
Известно, что половина тепла, выделяющегося при трении поршня о стенки возвращается в газ, тогда первый закон термодинамики будет выглядеть так:
$$Q_2 + Q_{тр} = A' + \Delta U$$
$$Q_2 + Q_{тр} = A' + \Delta U$$
Рассмотрим работу трения на перемещении поршня $x$:
Рассмотрим работу трения на перемещении поршня $x$:
$$ A_{тр} = F x $$
$$ A_{тр} = F x $$
Изменение объема газа на этом перемещении:
Изменение объема газа на этом перемещении:
$$\Delta V = xS $$
$$\Delta V = xS $$
А с другой стороны из уравнения Менделеева-Клапейрона для идеального газа:
А с другой стороны из уравнения Менделеева-Клапейрона для идеального газа:
$$\Delta V = \frac{\nu R \Delta T}{p} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}}$$
$$\Delta V = \frac{\nu R \Delta T}{p} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}}$$
Тогда перемещение поршня можно выразить следующим образом:
Тогда перемещение поршня можно выразить следующим образом:
$$ x = \frac{\Delta V}{S} = \frac{1}{S}\frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$
$$ x = \frac{\Delta V}{S} = \frac{1}{S}\frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$
И тогда работа трения:
И тогда работа трения:
$$A_{тр} = F \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$
$$A_{тр} = F \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$
Половина этой энергии возвращается в газ:
Половина этой энергии возвращается в газ:
$$Q_{тр} = \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)}$$
$$Q_{тр} = \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)}$$
Работа газа в изобарном процессе:
Работа газа в изобарном процессе:
$$ A' = p \Delta V = \nu R \Delta T$$
$$ A' = p \Delta V = \nu R \Delta T$$
Изменение внутренней энергии газа, как уже было показано выше:
Изменение внутренней энергии газа, как уже было показано выше:
$$\Delta U = c \Delta T $$
$$\Delta U = c \Delta T $$
Запишем первый закон термодинамики, подставив в него полученные выражения для количества теплоты от работы трения, передаваемого газу, работы газа, а также изменение внутренней энергии газа:
Запишем первый закон термодинамики, подставив в него полученные выражения для количества теплоты от работы трения, передаваемого газу, работы газа, а также изменение внутренней энергии газа:
$$ Q_2 + \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)} = \nu R \Delta T + c \Delta T $$
$$ Q_2 + \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)} = \nu R \Delta T + c \Delta T $$
Преобразуем:
Преобразуем:
$$Q_2 = \Delta T \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)}\right) $$
$$Q_2 = \Delta T \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)}\right) $$
Изменение температуры отсчитываем с момента начала движения поршня:
Изменение температуры отсчитываем с момента начала движения поршня:
$$\Delta T = T - T_1 = T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) $$
$$\Delta T = T - T_1 = T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) $$
@@ -112,9 +112,47 @@Второй участок
Количество теплоты, переданное газу после начала движения поршня от спирали:
Количество теплоты, переданное газу после начала движения поршня от спирали:
$$ Q_2 = Q - Q_1 = $$
$$ Q_2 = Q - Q_1 = Q - \frac{cT_0F}{p_0S}$$
Получаем:
$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) \right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)}\right)$$
$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 - \frac{T_0 F}{p_0S}\right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)}\right)$$
$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \nu R T - \nu R T_0 - \frac{\nu R T_0 F}{p_0S} + cT - cT_0 -\frac{cT_0F}{p_0S} - \frac{T F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F^2 \nu R}{2p_0S(p_0 S + F)}$$
