Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited May 29, 2026, 7:17 PM

View solution History

revision #18156 parent #18155 ← older

ru/7.1.15.md +35 −3

		@@ -1,11 +1,43 @@
			### Условие

		−	$7.1.15.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$7.1.15.$ Начальная скорость ионов в эмиттере (1) равна нулю, а электрическое поле между эмиттером и коллектором (2) постоянно. Покажите, что траектория ионов не зависит от их массы. Как относятся времена пролета разных ионов по одинаковой траектории, если заряд ионов одинаков, а отношение их масс равно $n$?

		+	![К задаче $7.1.15$\|266x121, 40%](../../img/7.1.15/7.1.15.png)
		+
			### Решение

		−	asd
		+	Пусть $V_{0}$ - потенциал эмиттера, $V$ - потенциал в данной точке, $m$ - масса иона, $q$ - его заряд. Так как начальная скорость ионов равна нулю, кинетическая энергия иона в любой точке траектории равна работе сил электрического поля:

		+	$$\frac{m\upsilon^{2}}{2}=q(V_{0}-V)\Longrightarrow \upsilon^{2}=\frac{2q(V_{0}-V)}{m} \tag{1}$$
		+
		+	В каждой точке траектории центростремительное ускорение иона создается нормальной составляющей электрической силы $F_{н}=qE_{н}$:
		+
		+	$$a_{н}=\frac{\upsilon^{2}}{R}=\frac{qE_{н}}{m} \tag{2}$$
		+
		+	здесь $R$ - радиус кривизны траектории.
		+
		+	Подставим (1) в (2):
		+
		+	$$\frac{2q(V_{0}-V)}{mR}=\frac{qE_{н}}{m}\Longrightarrow R=\frac{2(V_{0}-V)}{E_{н}}$$
		+
		+	Итак, радиус кривизны в любой точке пространства зависит исключительно от структуры электрического поля $(V, E_{н})$ и не зависит от массы и заряда иона. Следовательно, геометрическая форма траектории у всех ионов одинакова при одинаковых начальных условиях.
		+
		+	Время пролета $t$ по известной траектории находится путем интегрирования по элементу дуги $ds$:
		+
		+	$$t=\int \frac{ds}{\upsilon}$$
		+
		+	Подставим из (1) скорость:
		+
		+	$$t=\int \frac{ds}{\sqrt{\frac{2q(V_{0}-V)}{m}}}=\sqrt{\frac{m}{2q}}\int\frac{ds}{\sqrt{V_{0}-V}}$$
		+
		+	Так как траектории ионов идентичны, интеграл для них одинаков. Следовательно:
		+
		+	$$t\sim \sqrt{m}$$
		+
		+	Если заряды ионов одинаковы, а отношение их масс равно $\frac{m_{2}}{m_{1}}=n$, то отношения времен пролета составят:
		+
		+	$$\frac{t_{2}}{t_{1}}=\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}}=\sqrt{n}$$
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$\sqrt{n}$

	@@ -1,11 +1,43 @@
	### Условие		### Условие

	$7.1.15.$ [Вставьте условие задачи]		$7.1.15.$ Начальная скорость ионов в эмиттере (1) равна нулю, а электрическое поле между эмиттером и коллектором (2) постоянно. Покажите, что траектория ионов не зависит от их массы. Как относятся времена пролета разных ионов по одинаковой траектории, если заряд ионов одинаков, а отношение их масс равно $n$?

			![К задаче $7.1.15$\|266x121, 40%](../../img/7.1.15/7.1.15.png)

	### Решение		### Решение

	asd		Пусть $V_{0}$ - потенциал эмиттера, $V$ - потенциал в данной точке, $m$ - масса иона, $q$ - его заряд. Так как начальная скорость ионов равна нулю, кинетическая энергия иона в любой точке траектории равна работе сил электрического поля:

			$$\frac{m\upsilon^{2}}{2}=q(V_{0}-V)\Longrightarrow \upsilon^{2}=\frac{2q(V_{0}-V)}{m} \tag{1}$$

			В каждой точке траектории центростремительное ускорение иона создается нормальной составляющей электрической силы $F_{н}=qE_{н}$:

			$$a_{н}=\frac{\upsilon^{2}}{R}=\frac{qE_{н}}{m} \tag{2}$$

			здесь $R$ - радиус кривизны траектории.

			Подставим (1) в (2):

			$$\frac{2q(V_{0}-V)}{mR}=\frac{qE_{н}}{m}\Longrightarrow R=\frac{2(V_{0}-V)}{E_{н}}$$

			Итак, радиус кривизны в любой точке пространства зависит исключительно от структуры электрического поля $(V, E_{н})$ и не зависит от массы и заряда иона. Следовательно, геометрическая форма траектории у всех ионов одинакова при одинаковых начальных условиях.

			Время пролета $t$ по известной траектории находится путем интегрирования по элементу дуги $ds$:

			$$t=\int \frac{ds}{\upsilon}$$

			Подставим из (1) скорость:

			$$t=\int \frac{ds}{\sqrt{\frac{2q(V_{0}-V)}{m}}}=\sqrt{\frac{m}{2q}}\int\frac{ds}{\sqrt{V_{0}-V}}$$

			Так как траектории ионов идентичны, интеграл для них одинаков. Следовательно:

			$$t\sim \sqrt{m}$$

			Если заряды ионов одинаковы, а отношение их масс равно $\frac{m_{2}}{m_{1}}=n$, то отношения времен пролета составят:

			$$\frac{t_{2}}{t_{1}}=\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}}=\sqrt{n}$$

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$\sqrt{n}$