Движение заряженных частиц в электрическом поле > Движение в постоянном электрическом поле > Задача 7.1.15

Условие

$7.1.15.$ Начальная скорость ионов в эмиттере (1) равна нулю, а электрическое поле между эмиттером и коллектором (2) постоянно. Покажите, что траектория ионов не зависит от их массы. Как относятся времена пролета разных ионов по одинаковой траектории, если заряд ионов одинаков, а отношение их масс равно $n$?

Решение

Пусть $V_{0}$ - потенциал эмиттера, $V$ - потенциал в данной точке, $m$ - масса иона, $q$ - его заряд. Так как начальная скорость ионов равна нулю, кинетическая энергия иона в любой точке траектории равна работе сил электрического поля:

$$\frac{m\upsilon^{2}}{2}=q(V_{0}-V)\Longrightarrow \upsilon^{2}=\frac{2q(V_{0}-V)}{m} \tag{1}$$

В каждой точке траектории центростремительное ускорение иона создается нормальной составляющей электрической силы $F_{н}=qE_{н}$:

$$a_{н}=\frac{\upsilon^{2}}{R}=\frac{qE_{н}}{m} \tag{2}$$

здесь $R$ - радиус кривизны траектории.

Подставим (1) в (2):

$$\frac{2q(V_{0}-V)}{mR}=\frac{qE_{н}}{m}\Longrightarrow R=\frac{2(V_{0}-V)}{E_{н}}$$

Итак, радиус кривизны в любой точке пространства зависит исключительно от структуры электрического поля $(V, E_{н})$ и не зависит от массы и заряда иона. Следовательно, геометрическая форма траектории у всех ионов одинакова при одинаковых начальных условиях.

Время пролета $t$ по известной траектории находится путем интегрирования по элементу дуги $ds$:

$$t=\int \frac{ds}{\upsilon}$$

Подставим из (1) скорость:

$$t=\int \frac{ds}{\sqrt{\frac{2q(V_{0}-V)}{m}}}=\sqrt{\frac{m}{2q}}\int\frac{ds}{\sqrt{V_{0}-V}}$$

Так как траектории ионов идентичны, интеграл для них одинаков. Следовательно:

$$t\sim \sqrt{m}$$

Если заряды ионов одинаковы, а отношение их масс равно $\frac{m_{2}}{m_{1}}=n$, то отношения времен пролета составят:

$$\frac{t_{2}}{t_{1}}=\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}}=\sqrt{n}$$

Ответ

$\sqrt{n}$