Edits to “Условие”, “Решение”, “Литература”

igor edited
View solution History
revision #18213 parent #18212 ← older
ru/3.3.33.md +58 −3
@@ -1,11 +1,66 @@
### Условие
−$3.3.33.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.3.33^*.$ С какой амплитудой должна колебаться плита (см. задачу $3.3.32$), чтобы наступил своеобразный резонанс: груз, подбрасываемый плитой, после каждого удара увеличивал бы высоту своего подъема? Удары считать абсолютно упругими.
+
### Решение
−123
+Если тело после подбрасывания будет сталкиваться с плитой только в точке отрыва, то оно гарантированно увеличит скорость в системе земли. Пусть тело оторвалось со скоростью $v^*$, тогда после первого столкновения оно станет двигаться со скоростью $3v^*$, после второго — со скоростью $5v^*$ и т. д. Следовательно, времена соответствующих движений по подъему и возвращению относятся как $1:3:5:\ldots$ Конечно, растет и высота подъема после каждого столкновения.
+Чтобы столкновения с плитой были в одной точке, нужно чтобы указанные времена были кратны периоду $T$ колебаний плиты. Это будет учтено.
+
+В задаче $3.3.32$ была найдена высота, на которую поднимается груз после отрыва:
+
+$$
+H=\frac{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}}{2g}.
+$$
+
+С другой стороны, эта высота равна
+
+$$
+H=\frac{gt_0^2}{2},
+$$
+
+где $t_0$ есть время подъема груза до остановки после отрыва.
+
+Из предыдущих двух уравнений
+
+$$
+t_0=\frac{1}{g}\sqrt{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}},
+$$
+
+то есть время на подъем и возвращение после отрыва:
+
+$$
+t^*=\frac{1}{g}\sqrt{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}}.
+$$
+
+Если время $t^*$ будет кратно периоду $T$, то и времена $3t^*,5t^*,\ldots$ после последующих столкновений будут кратны периоду и место столкновения будет фиксированным.
+
+Подставим это требование в предыдущее равенство:
+
+$$
+kT=\frac{1}{g}\sqrt{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}},
+$$
+
+где $k$ есть целое число.
+
+Откуда с учетом $T=2\pi/\omega$ и находится ответ:
+
+$$
+A=\frac{g}{\omega^2}\sqrt{1+(k\pi)^2}.
+$$
+
+
+#### Литература
+
+[1] Башмаков М.И. Беккер Б.М. Гольховой В.М. Задачи по математике: алгебра и анализ. Библиотечка «Квант». 1982.
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+A=\frac{g}{\omega^2}\sqrt{1+(k\pi)^2},
+$$
+
+где $k$ есть целое число.