Правка разделов «Условие», «Решение», «Литература»

igor правка от 2 июн. 2026 г., 06:11

правка #18213 предыдущая #18212 ← раньше

ru/3.3.33.md +58 −3

		@@ -1,11 +1,66 @@
			### Условие

		−	$3.3.33.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$3.3.33^*.$ С какой амплитудой должна колебаться плита (см. задачу $3.3.32$), чтобы наступил своеобразный резонанс: груз, подбрасываемый плитой, после каждого удара увеличивал бы высоту своего подъема? Удары считать абсолютно упругими.

		+
			### Решение

		−	123
		+	Если тело после подбрасывания будет сталкиваться с плитой только в точке отрыва, то оно гарантированно увеличит скорость в системе земли. Пусть тело оторвалось со скоростью $v^$, тогда после первого столкновения оно станет двигаться со скоростью $3v^$, после второго — со скоростью $5v^*$ и т. д. Следовательно, времена соответствующих движений по подъему и возвращению относятся как $1:3:5:\ldots$ Конечно, растет и высота подъема после каждого столкновения.

		+	Чтобы столкновения с плитой были в одной точке, нужно чтобы указанные времена были кратны периоду $T$ колебаний плиты. Это будет учтено.
		+
		+	В задаче $3.3.32$ была найдена высота, на которую поднимается груз после отрыва:
		+
		+	$$
		+	H=\frac{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}}{2g}.
		+	$$
		+
		+	С другой стороны, эта высота равна
		+
		+	$$
		+	H=\frac{gt_0^2}{2},
		+	$$
		+
		+	где $t_0$ есть время подъема груза до остановки после отрыва.
		+
		+	Из предыдущих двух уравнений
		+
		+	$$
		+	t_0=\frac{1}{g}\sqrt{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}},
		+	$$
		+
		+	то есть время на подъем и возвращение после отрыва:
		+
		+	$$
		+	t^*=\frac{1}{g}\sqrt{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}}.
		+	$$
		+
		+	Если время $t^$ будет кратно периоду $T$, то и времена $3t^,5t^*,\ldots$ после последующих столкновений будут кратны периоду и место столкновения будет фиксированным.
		+
		+	Подставим это требование в предыдущее равенство:
		+
		+	$$
		+	kT=\frac{1}{g}\sqrt{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}},
		+	$$
		+
		+	где $k$ есть целое число.
		+
		+	Откуда с учетом $T=2\pi/\omega$ и находится ответ:
		+
		+	$$
		+	A=\frac{g}{\omega^2}\sqrt{1+(k\pi)^2}.
		+	$$
		+
		+
		+	#### Литература
		+
		+	[1] Башмаков М.И. Беккер Б.М. Гольховой В.М. Задачи по математике: алгебра и анализ. Библиотечка «Квант». 1982.
		+
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$$
		+	A=\frac{g}{\omega^2}\sqrt{1+(k\pi)^2},
		+	$$
		+
		+	где $k$ есть целое число.

	@@ -1,11 +1,66 @@
	### Условие		### Условие

	$3.3.33.$ [Вставьте условие задачи]		$3.3.33^*.$ С какой амплитудой должна колебаться плита (см. задачу $3.3.32$), чтобы наступил своеобразный резонанс: груз, подбрасываемый плитой, после каждого удара увеличивал бы высоту своего подъема? Удары считать абсолютно упругими.


	### Решение		### Решение

	123		Если тело после подбрасывания будет сталкиваться с плитой только в точке отрыва, то оно гарантированно увеличит скорость в системе земли. Пусть тело оторвалось со скоростью $v^$, тогда после первого столкновения оно станет двигаться со скоростью $3v^$, после второго — со скоростью $5v^*$ и т. д. Следовательно, времена соответствующих движений по подъему и возвращению относятся как $1:3:5:\ldots$ Конечно, растет и высота подъема после каждого столкновения.

			Чтобы столкновения с плитой были в одной точке, нужно чтобы указанные времена были кратны периоду $T$ колебаний плиты. Это будет учтено.

			В задаче $3.3.32$ была найдена высота, на которую поднимается груз после отрыва:

			$$
			H=\frac{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}}{2g}.
			$$

			С другой стороны, эта высота равна

			$$
			H=\frac{gt_0^2}{2},
			$$

			где $t_0$ есть время подъема груза до остановки после отрыва.

			Из предыдущих двух уравнений

			$$
			t_0=\frac{1}{g}\sqrt{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}},
			$$

			то есть время на подъем и возвращение после отрыва:

			$$
			t^*=\frac{1}{g}\sqrt{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}}.
			$$

			Если время $t^$ будет кратно периоду $T$, то и времена $3t^,5t^*,\ldots$ после последующих столкновений будут кратны периоду и место столкновения будет фиксированным.

			Подставим это требование в предыдущее равенство:

			$$
			kT=\frac{1}{g}\sqrt{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}},
			$$

			где $k$ есть целое число.

			Откуда с учетом $T=2\pi/\omega$ и находится ответ:

			$$
			A=\frac{g}{\omega^2}\sqrt{1+(k\pi)^2}.
			$$


			#### Литература

			[1] Башмаков М.И. Беккер Б.М. Гольховой В.М. Задачи по математике: алгебра и анализ. Библиотечка «Квант». 1982.


	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$$
			A=\frac{g}{\omega^2}\sqrt{1+(k\pi)^2},
			$$

			где $k$ есть целое число.