| @@ -1,20 +1,76 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $14.5.23.$ [Вставьте условие задачи] |
| | + | $14.5.23.$ Фотон массы $m$ сталкивается с неподвижным электроном. Определите массу фотона и электрона после столкновения, при котором фотон изменил направление движения на угол $\alpha$. |
| | | |
| | + |  |
| | + | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | Фотон массы $m$ сталкивается с неподвижным электроном. Определите массу фотона и электрона после столкновения, при котором фотон изменил направление движения на угол $\alpha$. |
| | + | В этой задаче рассматривается так называемый эффектр Комптона: фотон рассеивается на свободном электроне, отдает ему часть энергии, и его собственная частота уменьшается. Эта тема очень нравится авторам различных олимпиад. Напримпер, похожая задача была на белорусском отборе на $IPhO$. |
| | | |
| | − | В этой задаче рассматривается так называемый эффектр Комптона: фотон рассеивается на свободном электроне, отдает ему часть энергии, и его собственная частота уменьшается. |
| | + | Сразу обозначим: безмассовость фотона и постоянство массы электрона никто не отменял. Савченко использует массу как меру $\textbf{полной энергии }$этих частиц. Так, $m=\frac{h\nu}{c^2}$, где $\nu$ - частота фотона. Либо, если использовать массу в $эВ$, $m=h\nu=E_{photon}$, $\ m_e=E_{electron}$ - так можно заметно сократить запись. |
| | | |
| | + | Что ж, будем пользоваться такой записью, хотя некоторые формулы будут выглядеть чуть непривычно. |
| | + | |
| | + | Тогда ЗСЭ: |
| | | $$ |
| | − | m_{\gamma}=\frac{m}{1+\frac{m}{m_e}(1-\cos\alpha)} |
| | + | m_e+m=m'_e+m_{\gamma}\tag{1} |
| | | $$ |
| | + | Сразу получим "массу" электрона после столкновения: |
| | | $$ |
| | − | m'_e=m_e+m-m_{\gamma} |
| | + | m'_e=m_e+m-m_{\gamma}\tag{2} |
| | | $$ |
| | + | |
| | + | Релятивистский инвариант для электрона: |
| | + | $$ |
| | + | m'^{2}_e=p^2_e+m^{2}_e\tag{3} |
| | + | $$ |
| | | |
| | + | Пусть ось $Оx$ сонаправвлена с начальным направлением фотона, $Oy$ - перпендикулярна. Тогда угол межу направлением движения электрона после столкновения и $Оx$ равен $\varphi$. ЗСИ по осям: |
| | + | $$ |
| | + | Ox: \quad \frac{m}{c}=p_e\cos\varphi+\frac{m_{\gamma}}{c}\cos\alpha\tag{4} |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | Oy: \quad 0=p_e\sin\varphi+\frac{m_{\gamma}}{c}\sin\alpha\tag{5} |
| | + | $$ |
| | + | Нам не очень интересно, куда полетит электрон (а угол, под которым наблюдается фотон, практически важен), поэтому исключим $\varphi$. Для этого сначала подставим $(3)$ в $(4)$ и $(5)$, домножим на $c$ и возведем в квадрат: |
| | + | $$ |
| | + | (m-m_{\gamma}\cos\alpha)^2=(m'^{2}_e-m^{2}_e)cos^2\varphi\tag{6} |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | m_{\gamma}^2\sin^2\alpha=(m'^{2}_e-m^{2}_e)sin^2\varphi\tag{7} |
| | + | $$ |
| | + | Используя основное тригонометрическое тождество: |
| | + | $$ |
| | + | (m-m_{\gamma}\cos\alpha)^2=(m'^{2}_e-m^{2}_e)-m_{\gamma}^2\sin^2\alpha \tag{8} |
| | + | $$ |
| | + | Упрощая, |
| | + | $$ |
| | + | m^2-2mm_{\gamma}\cos\alpha+m_{\gamma}^2=m'^{2}_e-m^{2}_e \tag{9} |
| | + | $$ |
| | + | $(2)\to(9)$ |
| | + | $$ |
| | + | mm_{\gamma}\cos\alpha=m_em_{\gamma}+mm_{\gamma}-mm_e \tag{10} |
| | + | $$ |
| | + | |
| | + | $$ |
| | + | m_{\gamma}=\frac{m}{1+\frac{m}{m_e}(1-\cos\alpha)}<m\tag{11} |
| | + | $$ |
| | + | |
| | + | $No:$ Если вернуться к привычной энергии вместо массы, получим упомянутое в начале уменьшение частоты и получить стандартную формулу для эффета Комптона: |
| | + | $$ |
| | + | \frac{1}{\nu'}-\frac{1}{\nu}=\frac{h}{m_e c^2}(1-\cos\alpha) |
| | + | $$ |
| | + | или |
| | + | $$ |
| | + | \Delta\lambda=\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_e c}(1-\cos\alpha) |
| | + | $$ |
| | | #### Ответ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| | + | |
| | + | $$ |
| | + | m_{\gamma}=\frac{m}{1+\frac{m}{m_e}(1-\cos\alpha)} |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | m'_e=m_e+m-m_{\gamma} |
| | + | $$ |
