Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/14.5.18.md
+42 −5
| @@ -1,13 +1,50 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $14.5.18.$ | ||
| + | $14.5.18.$ Определите минимальную энергию электрона и позитрона, которые, | ||
| + | имея одинаковые скорости, направленные под углом α друг к другу, могут родить | ||
| + | протон-антипротонную пару: $e^+ + e^− → p + \bar{p}$. | ||
| + | $^*$ В уравнении в условии незначительная опечатка | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | О | ||
| − | |||
| − | протон-антипротонную пару: e+ − e− → p + p̄. | ||
| + | Пусть $\mathcal{E}$ - искомая энергия. Запишем релятивистский инвариант для начального состояния: | ||
| + | $$ | ||
| + | I=4\mathcal{E}^2-(\vec{p_{e^+}}+\vec{p_{e^-}})^2c^2\tag{1} | ||
| + | $$ | ||
| + | Обратите внимание, сумма импульсов векторная! Также важно, что инвариант не равен квадрату суммы энергий покоя электрона и позитрона. Ведь по определению | ||
| + | $$ | ||
| + | I=M_{\text{сист}}^2 c^4= \biggl(\sum_i E_i\biggr)^{2} - \biggl(\sum_i \mathbf{p}_i\biggr)^{2} c^2 | ||
| + | $$ | ||
| + | И направления импульсов входящих в систему частиц влияют на результат. Формулируя по другому: масса покоя системы не обязательно равна сумме масс покоя её компонентов. Но вернёмся к задаче. | ||
| + | Обозначим $p_{e^+}=p_{e^-}=p$, причем для каждой частицы | ||
| + | $$ | ||
| + | \mathcal{E}^2=p^2c^2+m_e^2c^4\tag{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | Тогда, аккуратно перемножив векторы и используя тригонометрию: | ||
| + | $$ | ||
| + | I=4\mathcal{E}^2-2p^2c^2(1+\cos\alpha)=4\mathcal{E}^2-4(\mathcal{E}^2-m_e^2c^4)\cos^2\frac{\alpha}{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | I=4\mathcal{E}^2\sin^2\frac{\alpha}{2}+4m_e^2c^4\cos^2\frac{\alpha}{2}\tag{3} | ||
| + | $$ | ||
| + | Чтобы энергия, затраченная на образование пары, была минимальной, конечные частицы должны покоиться относительно друг друга. Инвариант в этом частном случае как раз равен квадрату суммы энергий покоя частиц | ||
| + | $$ | ||
| + | I=(2m_pc^2)^2\tag{4} | ||
| + | $$ | ||
| + | Приравняем $(3)=(4)$ и немного преобразуем: | ||
| + | $$ | ||
| + | \mathcal{E}^2\sin^2\frac{\alpha}{2}=m_p^2c^4-m_e^2c^4\cos^2\frac{\alpha}{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | \mathcal{E} = m_p c^2 \sqrt{1 + \left(1 − \frac{m_e^2}{m_p^2} \right) \cot^2\frac{\alpha}{2} } | ||
| + | $$ | ||
| + | Можно проанализировать: при $\alpha=\pi$ (встречные пучки) $\mathcal{E}=m_pc^2$; при $\alpha=0$ реакция невозможна | ||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{\mathcal{E} = m_p c^2 \sqrt{1 + \left(1 − \frac{m_e^2}{m_p^2} \right) \cot^2\frac{\alpha}{2} }} | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,13 +1,50 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $14.5.18.$ |
$14.5.18.$ Определите минимальную энергию электрона и позитрона, которые, | ||
| имея одинаковые скорости, направленные под углом α друг к другу, могут родить | |||
| протон-антипротонную пару: $e^+ + e^− → p + \bar{p}$. | |||
| $^*$ В уравнении в условии незначительная опечатка | |||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| О |
Пусть $\mathcal{E}$ - искомая энергия. Запишем релятивистский инвариант для начального состояния: | ||
| $$ | |||
| протон-антипротонную пару: e+ − e− → p + p̄. | I=4\mathcal{E}^2-(\vec{p_{e^+}}+\vec{p_{e^-}})^2c^2\tag{1} | ||
| $$ | |||
| Обратите внимание, сумма импульсов векторная! Также важно, что инвариант не равен квадрату суммы энергий покоя электрона и позитрона. Ведь по определению | |||
| $$ | |||
| I=M_{\text{сист}}^2 c^4= \biggl(\sum_i E_i\biggr)^{2} - \biggl(\sum_i \mathbf{p}_i\biggr)^{2} c^2 | |||
| $$ | |||
| И направления импульсов входящих в систему частиц влияют на результат. Формулируя по другому: масса покоя системы не обязательно равна сумме масс покоя её компонентов. Но вернёмся к задаче. | |||
| Обозначим $p_{e^+}=p_{e^-}=p$, причем для каждой частицы | |||
| $$ | |||
| \mathcal{E}^2=p^2c^2+m_e^2c^4\tag{2} | |||
| $$ | |||
| Тогда, аккуратно перемножив векторы и используя тригонометрию: | |||
| $$ | |||
| I=4\mathcal{E}^2-2p^2c^2(1+\cos\alpha)=4\mathcal{E}^2-4(\mathcal{E}^2-m_e^2c^4)\cos^2\frac{\alpha}{2} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| I=4\mathcal{E}^2\sin^2\frac{\alpha}{2}+4m_e^2c^4\cos^2\frac{\alpha}{2}\tag{3} | |||
| $$ | |||
| Чтобы энергия, затраченная на образование пары, была минимальной, конечные частицы должны покоиться относительно друг друга. Инвариант в этом частном случае как раз равен квадрату суммы энергий покоя частиц | |||
| $$ | |||
| I=(2m_pc^2)^2\tag{4} | |||
| $$ | |||
| Приравняем $(3)=(4)$ и немного преобразуем: | |||
| $$ | |||
| \mathcal{E}^2\sin^2\frac{\alpha}{2}=m_p^2c^4-m_e^2c^4\cos^2\frac{\alpha}{2} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \mathcal{E} = m_p c^2 \sqrt{1 + \left(1 − \frac{m_e^2}{m_p^2} \right) \cot^2\frac{\alpha}{2} } | |||
| $$ | |||
| Можно проанализировать: при $\alpha=\pi$ (встречные пучки) $\mathcal{E}=m_pc^2$; при $\alpha=0$ реакция невозможна | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$ | ||
| \boxed{\mathcal{E} = m_p c^2 \sqrt{1 + \left(1 − \frac{m_e^2}{m_p^2} \right) \cot^2\frac{\alpha}{2} }} | |||
| $$ | |||