Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

jzmicer правка от
Посмотреть решение История
правка #18235 предыдущая #18234 ← раньше
ru/14.5.18.md +42 −5
@@ -1,13 +1,50 @@
### Условие
−$14.5.18.$ [Вставьте условие задачи]
+$14.5.18.$ Определите минимальную энергию электрона и позитрона, которые,
+имея одинаковые скорости, направленные под углом α друг к другу, могут родить
+протон-антипротонную пару: $e^+ + e^− → p + \bar{p}$.
+$^*$ В уравнении в условии незначительная опечатка
+
+![|587x206, 70%](../../img/14.5.18/14.5.18.png)
+
### Решение
−Определите минимальную энергию электрона и позитрона, которые,
−имея одинаковые скорости, направленные под углом α друг к другу, могут родить
−протон-антипротонную пару: e+ − e− → p + p̄.
+Пусть $\mathcal{E}$ - искомая энергия. Запишем релятивистский инвариант для начального состояния:
+$$
+I=4\mathcal{E}^2-(\vec{p_{e^+}}+\vec{p_{e^-}})^2c^2\tag{1}
+$$
+Обратите внимание, сумма импульсов векторная! Также важно, что инвариант не равен квадрату суммы энергий покоя электрона и позитрона. Ведь по определению
+$$
+I=M_{\text{сист}}^2 c^4= \biggl(\sum_i E_i\biggr)^{2} - \biggl(\sum_i \mathbf{p}_i\biggr)^{2} c^2
+$$
+И направления импульсов входящих в систему частиц влияют на результат. Формулируя по другому: масса покоя системы не обязательно равна сумме масс покоя её компонентов. Но вернёмся к задаче.
+Обозначим $p_{e^+}=p_{e^-}=p$, причем для каждой частицы
+$$
+\mathcal{E}^2=p^2c^2+m_e^2c^4\tag{2}
+$$
+Тогда, аккуратно перемножив векторы и используя тригонометрию:
+$$
+I=4\mathcal{E}^2-2p^2c^2(1+\cos\alpha)=4\mathcal{E}^2-4(\mathcal{E}^2-m_e^2c^4)\cos^2\frac{\alpha}{2}
+$$
+$$
+I=4\mathcal{E}^2\sin^2\frac{\alpha}{2}+4m_e^2c^4\cos^2\frac{\alpha}{2}\tag{3}
+$$
+Чтобы энергия, затраченная на образование пары, была минимальной, конечные частицы должны покоиться относительно друг друга. Инвариант в этом частном случае как раз равен квадрату суммы энергий покоя частиц
+$$
+I=(2m_pc^2)^2\tag{4}
+$$
+Приравняем $(3)=(4)$ и немного преобразуем:
+$$
+\mathcal{E}^2\sin^2\frac{\alpha}{2}=m_p^2c^4-m_e^2c^4\cos^2\frac{\alpha}{2}
+$$
+$$
+\mathcal{E} = m_p c^2 \sqrt{1 + \left(1 − \frac{m_e^2}{m_p^2} \right) \cot^2\frac{\alpha}{2} }
+$$
+Можно проанализировать: при $\alpha=\pi$ (встречные пучки) $\mathcal{E}=m_pc^2$; при $\alpha=0$ реакция невозможна
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+\boxed{\mathcal{E} = m_p c^2 \sqrt{1 + \left(1 − \frac{m_e^2}{m_p^2} \right) \cot^2\frac{\alpha}{2} }}
+$$