Решение

$\textbf{1 способ}$

Вспомним, что для фотона импульс равен $p=\frac{E}{c}$

Счётчик зафиксировал только один фотон, значит, второй полетел в строго противоположную сторону (если бы он имел компоненту, не параллельную направлению движения мезона, её нечем было бы скомпенсировать), причем должен выполняться ЗСИ:
$$p=\frac{Ev}{c^2}=\frac{1}{c}(E_1-E_2)$$
ЗСЭ:
$$E=m_{\pi^0}c^2+\mathcal{E}_K=E_1+E_2$$
решим эту систему:
$$E_2=E-E_1$$
$$Ev=c(2E_1-E)$$
Обозначим $\beta=v/c$, запишем определения энергий и аккуратно решим уравнения:
$$\frac{m_{\pi^0}c^2(1+\beta)}{\sqrt{1-\beta^2}}=2E_1$$
$$\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}=\frac{2E_1}{m_{\pi^0}c^2}=s$$
$$\beta=\frac{s^2-1}{s^2+1}$$
$$\mathcal{E}_K=E-m_{\pi^0}c^2=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{1}{\sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}}-1\right)$$
$$\mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{s^2+1}{2s}-1\right)$$
$$\mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2s}-1\right)$$
$$\mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{E_1}{m_{\pi^0}c^2}+\frac{m_{\pi^0}c^2}{4E_1}-1\right)$$
Или компактнее
$$\mathcal{E}_K=\frac{(2E_1-m_{\pi^0}c^2)^2}{4E_1}\approx 152 \ МэВ$$
Формула в ответе Савченко неверна, но численный ответ правильный

$\textbf{2 способ}$

Задачу можно также решить с помощью записи инварианта до и после распада:
$$I=\frac{E^2}{c^2}-p^2=m_{\pi^0}^2c^2$$
$$I=\left(\frac{E_1+E_2}{c}\right)^2-\left(\frac{E_1-E_2}{c}\right)^2=\frac{4E_1E_2}{c^2}$$
Приравнивая:
$$E_2=\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{4E_1}$$
$$\mathcal{E}_K=E-m_{\pi^0}c^2=E_1+E_2-m_{\pi^0}c^2$$
$$\mathcal{E}_K=E_1+\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{4E_1}-m_{\pi^0}c^2$$
Что приводит к тому же ответу