Специальная теория относительности > Закон сохранения массы и импульса > Задача 14.5.11

Условие

$14.5.11$

$\pi^0$-мезон распадается на два $\gamma$-кванта: $\pi^0 → \gamma + \gamma$. Найдите кинетическую энергию $\pi^0$-мезона, если счетчик, расположенный по направлению его движения, регистрирует $\gamma$-квант с энергией $E_1=270 \ МэВ$.

Решение

$\textbf{1 способ}$

Вспомним, что для фотона импульс равен $p=\frac{E}{c}$

Счётчик зафиксировал только один фотон, значит, второй полетел в строго противоположную сторону (если бы он имел компоненту, не параллельную направлению движения мезона, её нечем было бы скомпенсировать), причем должен выполняться ЗСИ:
$$
p=\frac{Ev}{c^2}=\frac{1}{c}(E_1-E_2)
$$
ЗСЭ:
$$
E=m_{\pi^0}c^2+\mathcal{E}_K=E_1+E_2
$$
решим эту систему:
$$
E_2=E-E_1
$$
$$
Ev=c(2E_1-E)
$$
Обозначим $\beta=v/c$, запишем определения энергий и аккуратно решим уравнения:
$$
\frac{m_{\pi^0}c^2(1+\beta)}{\sqrt{1-\beta^2}}=2E_1
$$
$$
\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}=\frac{2E_1}{m_{\pi^0}c^2}=s
$$
$$
\beta=\frac{s^2-1}{s^2+1}
$$
$$
\mathcal{E}_K=E-m_{\pi^0}c^2=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{1}{\sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}}-1\right)
$$
$$
\mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{s^2+1}{2s}-1\right)
$$
$$
\mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2s}-1\right)
$$
$$
\mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{E_1}{m_{\pi^0}c^2}+\frac{m_{\pi^0}c^2}{4E_1}-1\right)
$$
Или компактнее
$$
\mathcal{E}_K=\frac{(2E_1-m_{\pi^0}c^2)^2}{4E_1}\approx 152 \ МэВ
$$
Формула в ответе Савченко неверна, но численный ответ правильный

$\textbf{2 способ}$

Задачу можно также решить с помощью записи инварианта до и после распада:
$$
I=\frac{E^2}{c^2}-p^2=m_{\pi^0}^2c^2
$$
$$
I=\left(\frac{E_1+E_2}{c}\right)^2-\left(\frac{E_1-E_2}{c}\right)^2=\frac{4E_1E_2}{c^2}
$$
Приравнивая:
$$
E_2=\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{4E_1}
$$
$$
\mathcal{E}_K=E-m_{\pi^0}c^2=E_1+E_2-m_{\pi^0}c^2
$$
$$
\mathcal{E}_K=E_1+\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{4E_1}-m_{\pi^0}c^2
$$
Что приводит к тому же ответу

Ответ

$$
\boxed{\mathcal{E}_K=\frac{(2E_1-m_{\pi^0}c^2)^2}{4E_1}\approx 152 \ МэВ}
$$