Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

jzmicer edited
View solution History
revision #18345 parent #18344 ← older
ru/14.5.19.md +114 −4
@@ -1,11 +1,121 @@
### Условие
+$14.5.19$
−$14.5.19.$ [Вставьте условие задачи]
+$ а. $ С какой скоростью двигалось возбуждённое ядро массы M , если после испускания $\gamma$-кванта массы $m$ оно остановилось? На сколько отличается масса и энергия возбужденного и невозбужденного ядра?
+$б. $ В каком диапазоне скоростей возбужденного ядра из задачи пункта $а$ возможно следующее событие: испущенный возбужденным ядром $\gamma$-квант поглощается невозбужденным неподвижным ядром.
+
### Решение
+$\textbf{a}. $ Как и в некоторых других задачах этой главы, предположу, что масса у автора - мера полной энергии, то есть безмассовость фотона и постоянство массы покоя никто не отменял. А вопрос о различии массы и энергии в пункте $ а. $ можно свести к различию только масс.
−1
+Итак, если ядро остановилось после испускания кванта, его энергия оказалась равной энергии покоя:
+$$
+E=Mc^2=mc^2+M_rc^2\tag{1}
+$$
+Сразу можно ответить на второй вопрос:
+$$
+\Delta m=M-M_r=m\tag{2}
+$$
−#### Ответ
+Для импульса испущенного фотона справедливо
+$$
+p=\frac{E}{c}=mc
+$$
+После испускания фотона ядро остановилось, тогда из ЗСИ следует что оно сначала обладало таким же (в том числе по направлению) импульсом:
+$$
+p=\gamma M_r v=Mv=mc
+$$
+Тогда очевидно
+$$
+v=\frac{m}{M}c\tag{3}
+$$
+$No:$
+При попытке решить задачу другим способом можно совершить ошибку (я сначала так и сделал), записав
+$$
+M=\gamma M_r=\gamma(M-m)
+$$
+и отсюда найти скорость. Ответ будет другим (можете проверить). Но почему это неверно? Вроде формула сходится с нашим определением массы как полной энергии... Тут хочу обратить внимание на тот факт, что хоть ядро испустило $\underline{безмассовую}$ частицу, его собственная масса покоя при этом уменьшится. То есть в энергию фотона перешла не только кинетическая энергия. Попробуем это показать:
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+Обозначим:
+- \(M_{r1}\) – начальная масса покоя ядра,
+- \(M_r\) – конечная масса покоя ядра,
+
+Законы сохранения энергии и импульса мы уже записывали:
+
+$$
+M = M_r + m, \quad M v = m c
+$$
+
+Из первого уравнения \(m = M - M_r\). Подставляя во второе:
+
+$$
+M v = (M - M_r) c \quad\Rightarrow\quad \frac{v}{c} = 1 - \frac{M_r}{M}. \tag{4}
+$$
+
+С другой стороны, из определения \(M = \gamma M_{r1}\):
+
+$$
+\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \left(\frac{M_{r1}}{M}\right)^2}. \tag{5}
+$$
+
+Приравнивая и возводя в квадрат:
+
+$$
+\left(1 - \frac{M_r}{M}\right)^2 = 1 - \left(\frac{M_{r1}}{M}\right)^2.
+$$
+
+Раскрывая скобки и сокращая:
+$$
+2M_r - \frac{M_r^2}{M} = \frac{M_{r1}^2}{M},
+$$
+
+$$
+2 M_r M - M_r^2 = M_{r1}^2
+$$
+
+$$
+M_{r1}^2 - M_r^2 = M_r(2M - M_r) - M_r^2 = 2M_r(M - M_r).
+$$
+
+Поскольку \(M - M_r = m > 0\) и \(M_r > 0\), получаем:
+$$
+M_{r1}^2 - M_r^2 > 0 \quad\Rightarrow\quad M_{r1} > M_r.
+$$
+Таким образом, $\textbf{масса покоя ядра при испускании фотона уменьшается}$
+
+$\textbf{б}. $
+Поглощение фотона происходит, только если в результате энергия покоя ядра изменится строго на определённую величину (а ведь из за "отдачи" изменяется и кинетическая энергия).
+
+Фотон, способный поглотиться неподвижным невозбуждённым ядром, должен иметь в лабораторной системе отсчёта (ЛС) энергию $mc^2$ (обратимость процесса из $(а)$).
+
+
+Пусть возбуждённое ядро движется со скоростью $u$, а энергия фотона в его системе покоя равна $E_0$. Тогда в ЛС
+$$
+E_\gamma = E_0\,\gamma_u(1+\beta\cos\theta), \qquad \beta=\frac{u}{c},\quad \gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
+$$
+
+
+При фиксированном $u$ энергия меняется от $E_{\min}=E_0\gamma_u(1-\beta)$ до $E_{\max}=E_0\gamma_u(1+\beta)$.
+
+Из пункта $(а)$ при $u=v_1=\dfrac{m}{M}c$ и $\theta=0$ фотон имеет энергию ровно $mc^2$, то есть $E_{\max}(v_1)=mc^2$.
+
+Функция $E_{\max}(u)$ монотонно растёт, $E_{\min}(u)$ монотонно убывает, а при изменении $\theta$ энергия меняется непрерывно, поэтому:
+
+- если $u<v_1 $, то $E_{max}<mc^2$ и поглощение невозможно;
+
+- если $u\ge v_1$, то $E_{\max}\ge mc^2$ и найдётся угол $\theta$, при котором $E_\gamma=mc^2$.
+
+
+
+Значит, событие возможно для всех скоростей возбуждённого ядра, не меньших $v_1$:
+$$
+u \geqslant \frac{m}{M}c.
+$$
+
+#### Ответ
+$$
+a. \ v=\frac{m}{M}c, \qquad \Delta m=m;
+$$
+$$
+б. \ u \geqslant \frac{m}{M}c
+$$