Решение

$\textbf{a}.$ Как и в некоторых других задачах этой главы, предположу, что масса у автора - мера полной энергии, то есть безмассовость фотона и постоянство массы покоя никто не отменял. А вопрос о различии массы и энергии в пункте $а.$ можно свести к различию только масс.

Итак, если ядро остановилось после испускания кванта, его энергия оказалась равной энергии покоя:
$$E=Mc^2=mc^2+M_rc^2\tag{1}$$
Сразу можно ответить на второй вопрос:
$$\Delta m=M-M_r=m\tag{2}$$

Для импульса испущенного фотона справедливо
$$p=\frac{E}{c}=mc$$
После испускания фотона ядро остановилось, тогда из ЗСИ следует что оно сначала обладало таким же (в том числе по направлению) импульсом:
$$p=\gamma M_r v=Mv=mc$$
Тогда очевидно
$$v=\frac{m}{M}c\tag{3}$$
$No:$
При попытке решить задачу другим способом можно совершить ошибку (я сначала так и сделал), записав
$$M=\gamma M_r=\gamma(M-m)$$
и отсюда найти скорость. Ответ будет другим (можете проверить). Но почему это неверно? Вроде формула сходится с нашим определением массы как полной энергии... Тут хочу обратить внимание на тот факт, что хоть ядро испустило $\underline{безмассовую}$ частицу, его собственная масса покоя при этом уменьшится. То есть в энергию фотона перешла не только кинетическая энергия. Попробуем это показать:

Обозначим:

• $M_{r1}$ – начальная масса покоя ядра,
• $M_r$ – конечная масса покоя ядра,

Законы сохранения энергии и импульса мы уже записывали:

$$M = M_r + m, \quad M v = m c$$

Из первого уравнения $m = M - M_r$. Подставляя во второе:

$$M v = (M - M_r) c \quad\Rightarrow\quad \frac{v}{c} = 1 - \frac{M_r}{M}. \tag{4}$$

С другой стороны, из определения $M = \gamma M_{r1}$:

$$\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \left(\frac{M_{r1}}{M}\right)^2}. \tag{5}$$

Приравнивая и возводя в квадрат:

$$\left(1 - \frac{M_r}{M}\right)^2 = 1 - \left(\frac{M_{r1}}{M}\right)^2.$$

Раскрывая скобки и сокращая:
$$2M_r - \frac{M_r^2}{M} = \frac{M_{r1}^2}{M},$$

$$2 M_r M - M_r^2 = M_{r1}^2$$

$$M_{r1}^2 - M_r^2 = M_r(2M - M_r) - M_r^2 = 2M_r(M - M_r).$$

Поскольку $M - M_r = m > 0$ и $M_r > 0$, получаем:
$$M_{r1}^2 - M_r^2 > 0 \quad\Rightarrow\quad M_{r1} > M_r.$$
Таким образом, $\textbf{масса покоя ядра при испускании фотона уменьшается}$

$\textbf{б}.$
Поглощение фотона происходит, только если в результате энергия покоя ядра изменится строго на определённую величину (а ведь из за "отдачи" изменяется и кинетическая энергия).

Фотон, способный поглотиться неподвижным невозбуждённым ядром, должен иметь в лабораторной системе отсчёта (ЛС) энергию $mc^2$ (обратимость процесса из $(а)$).

Пусть возбуждённое ядро движется со скоростью $u$, а энергия фотона в его системе покоя равна $E_0$. Тогда в ЛС
$$E_\gamma = E_0\,\gamma_u(1+\beta\cos\theta), \qquad \beta=\frac{u}{c},\quad \gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

При фиксированном $u$ энергия меняется от $E_{\min}=E_0\gamma_u(1-\beta)$ до $E_{\max}=E_0\gamma_u(1+\beta)$.

Из пункта $(а)$ при $u=v_1=\dfrac{m}{M}c$ и $\theta=0$ фотон имеет энергию ровно $mc^2$, то есть $E_{\max}(v_1)=mc^2$.

Функция $E_{\max}(u)$ монотонно растёт, $E_{\min}(u)$ монотонно убывает, а при изменении $\theta$ энергия меняется непрерывно, поэтому:

• если $u<v_1$, то $E_{max}<mc^2$ и поглощение невозможно;

• если $u\ge v_1$, то $E_{\max}\ge mc^2$ и найдётся угол $\theta$, при котором $E_\gamma=mc^2$.

Значит, событие возможно для всех скоростей возбуждённого ядра, не меньших $v_1$:
$$u \geqslant \frac{m}{M}c.$$