| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $7.4.37.$ Три заряженных тела одинаковой масссы, разлетаясь, образуют всегда равнобедренный треугольник с углами $\alpha$ при вершине. Во сколько раз заряд тела, расположенного в вершине треугольника больше заряда тела в его основании. | | $7.4.37.$ Три заряженных тела одинаковой масссы, разлетаясь, образуют всегда равнобедренный треугольник с углами $\alpha$ при вершине. Во сколько раз заряд тела, расположенного в вершине треугольника больше заряда тела в его основании. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| $\Delta ABC$ - равнобедренный треугольник, $AK$ - высота, медиана и биссектриса, $\angle CAK=\frac{\alpha}{2}$. Поместим начало системы координат в точку $K(0;0)$, ось $x$ направим вдоль основания $BC$, ось $y$ направим вдоль высоты $AK$. Обозначим $AK=h$, $BK=KC=d$, тогда в нашей системе координат координаты точек: $A(0;h)$, $B(-d;0)$, $C(d;0)$. | | $\Delta ABC$ - равнобедренный треугольник, $AK$ - высота, медиана и биссектриса, $\angle CAK=\frac{\alpha}{2}$. Поместим начало системы координат в точку $K(0;0)$, ось $x$ направим вдоль основания $BC$, ось $y$ направим вдоль высоты $AK$. Обозначим $AK=h$, $BK=KC=d$, тогда в нашей системе координат координаты точек: $A(0;h)$, $B(-d;0)$, $C(d;0)$. |
| | | |
| Для того чтобы геометрическая конфигурация системы тел в процессе движения оставалась подобной самой себе, векторы ускорений всех тел в любой момент времени должны быть направлены строго от центра масс системы. | | Для того чтобы геометрическая конфигурация системы тел в процессе движения оставалась подобной самой себе, векторы ускорений всех тел в любой момент времени должны быть направлены строго от центра масс системы. |
| | | |
| Из прямоугольного треугольника $\Delta AKC$: | | Из прямоугольного треугольника $\Delta AKC$: |
| | | |
| $$d=AC\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\Longrightarrow \frac{AC}{d}=\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}} \tag{1}$$ | | $$d=AC\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\Longrightarrow \frac{AC}{d}=\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}} \tag{1}$$ |
| | | |
| Так как массы всех трёх тел одинаковы, центр масс находится в точке $L$ с координатами: | | Так как массы всех трёх тел одинаковы, центр масс находится в точке $L$ с координатами: |
| | | |
| $$X_{цм}=\frac{0-d+d}{3}=0$$ | | $$X_{цм}=\frac{0-d+d}{3}=0$$ |
| $$Y_{цм}=\frac{h+0+0}{3}=\frac{h}{3}$$ | | $$Y_{цм}=\frac{h+0+0}{3}=\frac{h}{3}$$ |
| | | |
| Итак, центр масс $L(0;\frac{h}{3})$. | | Итак, центр масс $L(0;\frac{h}{3})$. |
| | | |
| Радиус-вектор, проведенный из центра масс $L(0;\frac{h}{3})$ к телу в точке $C(d;0)$, имеет координаты: $\overrightarrow{LC}(d-0;0-\frac{h}{3})\Rightarrow \overrightarrow{LC}(d;-\frac{h}{3})$. | | Радиус-вектор, проведенный из центра масс $L(0;\frac{h}{3})$ к телу в точке $C(d;0)$, имеет координаты: $\overrightarrow{LC}(d-0;0-\frac{h}{3})\Rightarrow \overrightarrow{LC}(d;-\frac{h}{3})$. |
| | | |
| Результирующая кулоновская сила, действующая на тело в точке $C$ со стороны тел в точках $A$ и $B$, должна быть коллинеарна с вектором $\overrightarrow{LC}$. Условие коллинеарности: | | Результирующая кулоновская сила, действующая на тело в точке $C$ со стороны тел в точках $A$ и $B$, должна быть коллинеарна с вектором $\overrightarrow{LC}$. Условие коллинеарности: |
| | | |
| $$\frac{F_{x}}{F_{y}}=\frac{d}{-\frac{h}{3}}=-\frac{3d}{h} \tag{2}$$ | | $$\frac{F_{x}}{F_{y}}=\frac{d}{-\frac{h}{3}}=-\frac{3d}{h} \tag{2}$$ |
| | | |
| Запишим силу действующую на тело в точке $C$ со стороны тела в точке $B$: | | Запишим силу действующую на тело в точке $C$ со стороны тела в точке $B$: |
| | | |
| $$F_{BC}=\frac{kq_{2}^{2}}{4d^{2}}$$ | | $$F_{BC}=\frac{kq_{2}^{2}}{4d^{2}}$$ |
| | | |
| Эта сила направлена вдоль оси $x$. | | Эта сила направлена вдоль оси $x$. |
| | | |
| Вектор $\overrightarrow{AC}$ имеет координаты: $\overrightarrow{AC}(d-0;0-h)\Rightarrow \overrightarrow{AC}(d;-h)$. Сила действующая на тело в точке $C$ со стороны тела в точке $A$ в векторной форме: | | Вектор $\overrightarrow{AC}$ имеет координаты: $\overrightarrow{AC}(d-0;0-h)\Rightarrow \overrightarrow{AC}(d;-h)$. Сила действующая на тело в точке $C$ со стороны тела в точке $A$ в векторной форме: |
| | | |
| $$\vec F_{AC}=\frac{kq_{1}q_{2}}{AC^{3}}\cdot \overrightarrow{AC}(d;-h)$$ | | $$\vec F_{AC}=\frac{kq_{1}q_{2}}{AC^{3}}\cdot \overrightarrow{AC}(d;-h)$$ |
| | | |
| Суммарные компоненты силы на тело в точке $C$: | | Суммарные компоненты силы на тело в точке $C$: |
| | | |
| $$F_{x}=\frac{kq_{2}^{2}}{4d^{2}}+\frac{kq_{1}q_{2}d}{AC^{3}} \tag{3}$$ | | $$F_{x}=\frac{kq_{2}^{2}}{4d^{2}}+\frac{kq_{1}q_{2}d}{AC^{3}} \tag{3}$$ |
| $$F_{y}=-\frac{kq_{1}q_{2}h}{AC^{3}} \tag{4}$$ | | $$F_{y}=-\frac{kq_{1}q_{2}h}{AC^{3}} \tag{4}$$ |
| | | |
| Подставим компоненты силы в условие коллинеарности (2): | | Подставим компоненты силы в условие коллинеарности (2): |
| | | |
| $$\frac{\frac{kq_{2}^{2}}{4d^{2}}+\frac{kq_{1}q_{2}d}{AC^{3}}}{-\frac{kq_{1}q_{2}h}{AC^{3}}}=-\frac{3d}{h}$$ | | $$\frac{\frac{kq_{2}^{2}}{4d^{2}}+\frac{kq_{1}q_{2}d}{AC^{3}}}{-\frac{kq_{1}q_{2}h}{AC^{3}}}=-\frac{3d}{h}$$ |
| | | |
| Отсюда: | | Отсюда: |
| | | |
| $$\frac{q_{2}}{4d^{2}}+\frac{q_{1}d}{AC^{3}}=\frac{3q_{1}d}{AC^{3}}$$ | | $$\frac{q_{2}}{4d^{2}}+\frac{q_{1}d}{AC^{3}}=\frac{3q_{1}d}{AC^{3}}$$ |
| $$\frac{q_{2}}{4d^{2}}=\frac{2q_{1}d}{AC^{3}}\Longrightarrow \frac{q_{1}}{q_{2}}=\frac{1}{8}\cdot \left( \frac{AC}{d} \right)^{3} \tag{5}$$ | | $$\frac{q_{2}}{4d^{2}}=\frac{2q_{1}d}{AC^{3}}\Longrightarrow \frac{q_{1}}{q_{2}}=\frac{1}{8}\cdot \left( \frac{AC}{d} \right)^{3} \tag{5}$$ |
| | | |
| Учитывая (1), окончательно получаем: | | Учитывая (1), окончательно получаем: |
