Решение

Работаем в СГС.
обозначим $K'$ систему отсчёта где нить покоится, а $K$ ту, где движется. Тогда в системе $K'$ поле в точке на расстоянии $r$ от нити(Для удобства сразу разложим на нормальную и тангенциальную нити компоненты):
$$E'_n=\frac{2\rho}{r}$$
$$E'_\tau=B'_n=B'_\tau=0$$
Вспомним преобразования Лоренца для перехода в $K$ систему:
$$E_n=\gamma(E_n-\frac{1}{c}[\vec{v},\vec{B'}])$$
$$B_n=\gamma(B_n+\frac{1}{c}[\vec{v},\vec{E'}])$$
$$B_\tau=const; E_\tau=const$$
Подставим наши начальные условия и получим:
$$E=E_n=\frac{2\gamma\rho}{r}$$
$$B=B_n=\frac{2\beta \gamma \rho}{r}$$
Для особо внимательных отметим, что $r$ согласно преобразованиям Лоренца остаётся постоянной(поперечный размер)