Edit to “Решение”

jzmicer edited Jun 9, 2026, 5:10 PM

View solution History

revision #18504 parent #18503 ← older

ru/14.5.20.md +1 −1


			### Условие
			$14.5.20.$ Определите минимальную и максимальную энергии нейтрино, образующихся при распаде $\pi^0$-мезона с энергией $6 \ ГэВ$:
			$$
			\pi^0\to\mu^+ + e^- + \nu
			$$


			### Решение
			Нейтрино - безмассовая частица, поэтому для нее $E_{\nu}=p_{\nu}c$


			Энергия $\pi^0$-мезона намного больше его энергии покоя, значит суммарный импульс системы ненулевой. Тогда инвариант:
			$$
			I=(m_{\pi^0}c)^2=\frac{E^2}{c^2}-p_{\pi^0}^2\quad\to\quad p_{\pi^0}=\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-(m_{\pi^0}c)^2}\tag{1}
			$$
			Очевидно, что наибольшей энергия нейтрино соответствует ситуация, когда эта частица приобретает максимальный импульс. Это достигается, когда нейтрино в лабораторной системе получает импульс вдоль направления движения $\pi^0$-мезона, а остальные частицы движутся в противоположном направлении с одинаковой скоростью. Заметьте, что электрон и антимюон можно рассматривать как одни частицу с эффективной массой $m_{\mu}+m_e$. Доказать это можете сами, тем более похожие идеи используются в других задачах раздела
			$$
			p=\frac{E_{max}}{c}=p_{\mu e}+p_{\pi^0}\quad\to\quad p_{\mu e}^2=\left(\frac{E_{max}}{c}-p_{\pi^0}\right)^2\tag{2}
			$$
			$$
			E=E_{max}+E_{\mu e} \quad\to\quad E_{\mu e}^2=(E-E_{max})^2\tag{3}
			$$
			Теперь инвариант:
			$$
			(m_{\mu}+m_e)^2c^2=\frac{E_{\mu e}^2}{c^2}-p_{\mu e}^2\tag{4}
			$$
			$(2), \ (3)\to(4)$
			$$
			(m_{\mu}+m_e)^2c^2=\frac{(E-E_{max})^2}{c^2}-\left(\frac{E_{max}}{c}-p_{\pi^0}\right)^2
			$$
			$$
			(m_{\mu}+m_e)^2c^4=E^2-2E_{max}\left(E-p_{\pi^0}с\right)-p_{\pi^0}^2c^2\tag{5}
			$$
			$(1)\to(5)$
			$$
			(m_{\mu}+m_e)^2c^4=E^2-2E_{max}\left(E-p_{\pi^0}с\right)-E^2+m_{\pi^0}^2c^4
			$$
			$$
			2E_{max}\left(E-\sqrt{E^2-m_{\pi^0}^2c^4}\right)=m_{\pi^0}^2c^4-(m_{\mu}+m_e)^2c^4
			$$
			$$
			2E_{max}\left(E-\sqrt{E^2-m_{\pi^0}^2c^4}\right)=m_{\pi^0}^2c^4-(m_{\mu}+m_e)^2c^4
			$$
			$$
			E_{max}=\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{2}\frac{1-\frac{(m_{\mu}+m_e)^2}{m_{\pi^0}^2}}{E-\sqrt{E^2-m_{\pi^0}^2c^4}}
			$$
			Домножим на $E+\sqrt{E^2-m_{\pi^0}^2c^4}$
			$$
			E_{max}=\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{2}\frac{1-\frac{(m_{\mu}+m_e)^2}{m_{\pi^0}^2}}{m_{\pi^0}^2c^4}\left(E+\sqrt{E^2-m_{\pi^0}^2c^4}\right)
			$$
		@@ -52,7 +52,7 @@Решение
			$$
			E_{max}=\frac{E}{2}\left[1-\frac{(m_{\mu}+m_e)^2}{m_{\pi^0}^2}\right]\left[1+\sqrt{1-\left(\frac{m_{\pi^0}c^2}{E}\right)^2}\right]\approx 2.3 ГэВ
			$$
		−	Минимальная энергия, очевидно, стремится к нулю: нетрудно показать, что распад с точки зрения ЗСЭ и ЗСИ возможен и без вклада нейтрино. А учитывая, что по современным представлениям эта частица всё-таки обладает некоторой массой покоя эта энергия может быть строго равна нулю.
		+	Минимальная энергия, очевидно, стремится к нулю: нетрудно показать, что распад с точки зрения ЗСЭ и ЗСИ возможен и без вклада нейтрино. А учитывая, что по современным представлениям эта частица всё-таки обладает некоторой массой покоя, эта энергия может быть строго равна нулю.

			$No:$ У Савченко в ответе ошибка, он забыл разделить на 2
			#### Ответ
			$$
			E_{max}=\frac{E}{2}\left[1-\frac{(m_{\mu}+m_e)^2}{m_{\pi^0}^2}\right]\left[1+\sqrt{1-\left(\frac{m_{\pi^0}c^2}{E}\right)^2}\right]\approx 2.3 ГэВ
			$$
			$$
			E_{min}=0
			$$
		unchanged lines 6