New solution

naz edited
View solution History
revision #18702 newer →
ru/5.7.9.md +70 −0
@@ -0,0 +1,70 @@
+### Условие
+
+$5.7.9.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+Итак, уже очень долго только на эту задачу раздела нет решения, пора бы его предоставить.
+
+Поток газа внутри трубы, можно описать уравнением Бернулли для потока жидкости, если представить газ как идеальную сжимаемую жидкость. Идеальную в том смысле, что в ней никогда не возникают тангенциальные силы внутреннего трения и взаимодействие между ними осуществляется исключительно с помощью нормальных сил давления.
+
+Так же, если скорость потока жидкости не сильно изменяется в пространстве и во времени, то жидкость можно разбить мысленно разбить на достаточно малые микроскопические части, каждая из которых движется с определенной макроскопической скоростью $\upsilon$ и равновесное состояние которой может быть охарактеризовано же параметрами что и термодинамическое равновесие - температурой, давлением и плотностью.
+
+Уравнение Бернулли утверждает, что при стационарном ламинарном течении идеальной жидкости величина $\epsilon + \frac{P}{\rho}$ остается постоянной вдоль линии тока. Где $\epsilon$ есть полная энергия единицы массы. Она слагается из $3$ частей: кинетическая энергия $\frac{\upsilon^2}{2}$, потенциальной энергии $\varphi$ во внешнем силовом поле и внутренней энергии u. Если внешним полем является поле тяжести, то $\varphi = gh$. В этом случае уравнение принимает вид:
+
+$$u + \frac{P}{\rho}+gh+\frac{\upsilon^2}{2}=const$$
+
+Величину $u+\frac{P}{\rho}$ называют удельной энтальпией, то есть энтальпией единицы массы жидкости, обозначим ее $H$:
+
+$$H + gh +\frac{\upsilon^2}{2}=const$$
+
+Если течение происходит в горизонтальном направлении, то величина $gh$ остается постоянной. В этих случаях:
+
+$$H+\frac{\upsilon^2}{2}=const$$
+
+На этой прекрасной ноте можем перейти к решению, уже достаточно длинному, как любят некоторые личности)
+
+Начнем мы с условия постоянства массы выделенной порции прошедшей через стенку:
+
+$$\rho \upsilon S = \rho' \upsilon ' S$$
+$$\rho ' = \rho \frac{\upsilon}{\upsilon'}$$
+
+А так же воспользуемся тем, что сопротивление от сетки пренебрежимо мало, а значит импульс выделенной порции, прошедшей за время $\Delta t$ сохраняется:
+
+$$PS\Delta t + \rho S \upsilon^2 \Delta t = P'S\Delta t + \rho' S {\upsilon'}^2\Delta t$$
+
+$$P' = P + \rho \upsilon^2 - \rho \upsilon \upsilon '$$
+
+Теперь выведем уравнение энтальпии идеального газа, НО, для начала все же напомним связь между количеством степеней свободы и показателем адиабаты:
+
+$$i = \frac{2}{\gamma - 1}$$
+
+Удельная внутренняя энергия равна:
+
+$$u = \frac{PV}{(\gamma-1)m}=\frac{P}{(\gamma-1) \rho}$$
+
+А энтальпия:
+
+$$H = u + \frac{P}{\rho} = \frac{\gamma P}{(\gamma -1)\rho}$$
+
+Запишем уравнение Бернулли, только учтем что к удельной энтальпии и кинетической энергии добавится еще и удельная мощность от решетки:
+
+$$\frac{q}{\rho \upsilon S} +\frac{\gamma P}{(\gamma -1) \rho} + \frac{\upsilon^2}{2} = \frac{\gamma \upsilon'}{(\gamma -1)\rho \upsilon}(P+\rho \upsilon^2 - \rho \upsilon \upsilon') + \frac{{\upsilon'}^2}{2}$$
+
+В итоге получим квадратное уравнение:
+
+$$-\rho \upsilon (\gamma+1){\upsilon'}^2 + 2(P+\rho \upsilon^2)\gamma \upsilon' -(2\gamma P \upsilon + \rho \upsilon^3(\gamma - 1)+\frac{2q(\gamma-1)}{S})$$
+
+С разрешения читателя не будем приводить все выкладки и преобразования итогового ответа, стоит лишь отметить, что в Савченко, скорее всего, допущена опечатка и итоговый ответ выглядит так(физический смысл имеет только корень с минусом):
+
+$$\boxed{\frac{\upsilon}{\gamma + 1}[\gamma(\frac{P}{\rho \upsilon^2}+1)+\sqrt{(1-\frac{P\upsilon}{\rho \upsilon^2})^2 - \frac{2q(\gamma^2-1)}{\rho \upsilon^3 S}]}$$
+
+Где $\rho = \frac{P\mu}{RT}$ - плотность газа за перегородкой.
+
+Сила находится просто как изменение импульса массы проходящей за единицу времени:
+$$\boxed{F = \rho \upsilon S (\upsilon' - \upsilon)}$$
+
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]